Ache a área do círculo r=\operatorname{sen} \theta, dada em coordenadas polares. Faça o mesmo para a região delimitada pela cardioide \mathrm{r}=1-\operatorname{sen} \theta.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
Calcular a área da região limitada pela curva em coordenadas polares r=\sin\theta.
Calcular a área da região limitada pela curva em coordenadas polares r=1-\sin\theta (a cardioide).
Informações relevantes fornecidas:
As equações polares das curvas são exatamente r=\sin\theta e r=1-\sin\theta.
Não há outras restrições dadas; portanto é necessário escolher os intervalos de \theta que traçam cada curva inteira uma vez e usar a fórmula de área em coordenadas polares.
Passo 2
Relembrando e entendendo a fórmula de área em coordenadas polares (a parte didática que ajuda a aplicar na prova).
Quando uma curva em coordenadas polares é dada por r=r(\theta), a área de um setor infinitesimal entre \theta e \theta+d\theta é aproximadamente a área de um setor de círculo de raio r, isto é
dA \approx \tfrac{1}{2}r^2\,d\theta.
Integrando esses setores para \theta variando de \alpha até \beta obtemos a área total da região (quando a curva é traçada uma vez e r\ge0 no intervalo):
Aqui: \alpha e \beta são os limites de \theta que percorrem a curva uma vez sem sobreposição. É importante escolher corretamente \alpha,\beta para cobrir exatamente a região desejada.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao caso r=\sin\theta. Primeiro decidir os limites de \theta.
Observação sobre o sinal de r: \sin\theta\ge0 para \theta\in[0,\pi]. Para \theta fora desse intervalo, \sin\theta fica negativo e a representação polar com r<0 muda a direção, então a curva útil (a circunferência fechada que queremos) é traçada quando \theta vai de 0 até \pi.
Portanto escolhemos \alpha=0 e \beta=\pi. A área é
Interpretação geométrica curta (útil para memorizar): a curva r=\sin\theta é, em coordenadas cartesianas, uma circunferência de raio \tfrac{1}{2} centrada em (0,\tfrac{1}{2}). A área de uma circunferência de raio \tfrac{1}{2} é \pi\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)^2=\tfrac{\pi}{4}, consistente com o cálculo acima.
Passo 6
Agora aplicar a fórmula ao caso da cardioide r=1-\sin\theta.
Primeiro os limites de \theta: para \theta variando de 0 a 2\pi a função r=1-\sin\theta é não-negativa (mínimo 0 em \theta=\tfrac{\pi}{2}) e descreve a cardioide completa exatamente uma vez. Logo escolhemos \alpha=0 e \beta=2\pi.