Ache a área do círculo r=\operatorname{sen} \theta, dada em coordenadas polares. Faça o mesmo para a região delimitada pela cardioide \mathrm{r}=1-\operatorname{sen} \theta.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • Calcular a área da região limitada pela curva em coordenadas polares r=\sin\theta.
  • Calcular a área da região limitada pela curva em coordenadas polares r=1-\sin\theta (a cardioide).
Informações relevantes fornecidas:
  • As equações polares das curvas são exatamente r=\sin\theta e r=1-\sin\theta.
  • Não há outras restrições dadas; portanto é necessário escolher os intervalos de \theta que traçam cada curva inteira uma vez e usar a fórmula de área em coordenadas polares.

Passo 2

Relembrando e entendendo a fórmula de área em coordenadas polares (a parte didática que ajuda a aplicar na prova).
  • Quando uma curva em coordenadas polares é dada por r=r(\theta), a área de um setor infinitesimal entre \theta e \theta+d\theta é aproximadamente a área de um setor de círculo de raio r, isto é
dA \approx \tfrac{1}{2}r^2\,d\theta.
  • Integrando esses setores para \theta variando de \alpha até \beta obtemos a área total da região (quando a curva é traçada uma vez e r\ge0 no intervalo):
A=\tfrac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta} \bigl(r(\theta)\bigr)^2\,d\theta.
  • Aqui: \alpha e \beta são os limites de \theta que percorrem a curva uma vez sem sobreposição. É importante escolher corretamente \alpha,\beta para cobrir exatamente a região desejada.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao caso r=\sin\theta. Primeiro decidir os limites de \theta.
  • Observação sobre o sinal de r: \sin\theta\ge0 para \theta\in[0,\pi]. Para \theta fora desse intervalo, \sin\theta fica negativo e a representação polar com r<0 muda a direção, então a curva útil (a circunferência fechada que queremos) é traçada quando \theta vai de 0 até \pi.
  • Portanto escolhemos \alpha=0 e \beta=\pi. A área é
A=\tfrac{1}{2}\int_{0}^{\pi} \sin^2\theta\,d\theta.

Passo 4

Calcular a integral \tfrac{1}{2}\int_{0}^{\pi}\sin^2\theta\,d\theta passo a passo.
  • Usar a identidade de redução para \sin^2\theta:
\sin^2\theta=\tfrac{1}{2}\bigl(1-\cos 2\theta\bigr).
  • Substituindo na integral:
A=\tfrac{1}{2}\int_{0}^{\pi} \tfrac{1}{2}\bigl(1-\cos 2\theta\bigr)\,d\theta = \tfrac{1}{4}\int_{0}^{\pi}\bigl(1-\cos 2\theta\bigr)\,d\theta.
  • Separando a integral:
A=\tfrac{1}{4}\left(\int_{0}^{\pi}1\,d\theta - \int_{0}^{\pi}\cos 2\theta\,d\theta\right).
  • Calcular cada parte:
\int_{0}^{\pi}1\,d\theta = \pi, \qquad \int_{0}^{\pi}\cos 2\theta\,d\theta = \left.\tfrac{1}{2}\sin 2\theta\right|_{0}^{\pi} = \tfrac{1}{2}\bigl(\sin 2\pi - \sin 0\bigr)=0.
  • Logo
A=\tfrac{1}{4}\bigl(\pi - 0\bigr)=\tfrac{\pi}{4}.

Passo 5

Interpretação geométrica curta (útil para memorizar): a curva r=\sin\theta é, em coordenadas cartesianas, uma circunferência de raio \tfrac{1}{2} centrada em (0,\tfrac{1}{2}). A área de uma circunferência de raio \tfrac{1}{2} é \pi\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)^2=\tfrac{\pi}{4}, consistente com o cálculo acima.

Passo 6

Agora aplicar a fórmula ao caso da cardioide r=1-\sin\theta.
  • Primeiro os limites de \theta: para \theta variando de 0 a 2\pi a função r=1-\sin\theta é não-negativa (mínimo 0 em \theta=\tfrac{\pi}{2}) e descreve a cardioide completa exatamente uma vez. Logo escolhemos \alpha=0 e \beta=2\pi.
  • A área será
A=\tfrac{1}{2}\int_{0}^{2\pi} (1-\sin\theta)^2\,d\theta.

Passo 7

Desenvolver e integrar (1-\sin\theta)^2 detalhadamente.
  • Expandir o quadrado:
(1-\sin\theta)^2 = 1 - 2\sin\theta + \sin^2\theta.
  • Substituir na integral:
A=\tfrac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\bigl(1 - 2\sin\theta + \sin^2\theta\bigr)\,d\theta.
  • Separar em três integrais:
A=\tfrac{1}{2}\left(\int_{0}^{2\pi}1\,d\theta - 2\int_{0}^{2\pi}\sin\theta\,d\theta + \int_{0}^{2\pi}\sin^2\theta\,d\theta\right).

Passo 8

Calcular cada uma das três integrais.
  • Primeiro termo:
\int_{0}^{2\pi}1\,d\theta = 2\pi.
  • Segundo termo (seno sobre período inteiro):
\int_{0}^{2\pi}\sin\theta\,d\theta = \left.-\cos\theta\right|_{0}^{2\pi} = -\cos(2\pi)+\cos 0 = -1+1 = 0.
Portanto -2\int_{0}^{2\pi}\sin\theta\,d\theta = 0.
  • Terceiro termo (usar novamente a identidade de redução):
\sin^2\theta=\tfrac{1}{2}\bigl(1-\cos 2\theta\bigr),
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\int_{0}^{2\pi}\sin^2\theta\,d\theta = \tfrac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\bigl(1-\cos 2\theta\bigr)\,d\theta = \tfrac{1}{2}\Bigl(2\pi - \left.\tfrac{1}{2}\sin 2\theta\right|_{0}^{2\pi}\Bigr) = \tfrac{1}{2}\cdot 2\pi = \pi.
(Observe que \sin 2\theta é zero nas fronteiras 0 e 2\pi.)

Passo 9

Juntando os resultados obtidos:
  • A soma das integrais dentro do parênteses de Passo 7 é
2\pi + 0 + \pi = 3\pi.
  • Multiplicando por \tfrac{1}{2}
A=\tfrac{1}{2}\cdot 3\pi = \tfrac{3\pi}{2}.

Resposta

Área para r=\sin\theta: \tfrac{\pi}{4}
Área para r=1-\sin\theta: \tfrac{3\pi}{2}

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