(\mathbf{2 , 0} pts) Resolva os seguintes PVI’s:
\left{ \begin{array}{l}(2 x y+\cos (x)) d x+\left(x^{2}+2 y\right) d y=0 \\ y(0)=1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá um problema de valor inicial (PVI) e pede que se resolva:
\begin{cases} (2x y+\cos x)\,dx + (x^{2}+2y)\,dy = 0,\\[4pt] y(0)=1. \end{cases}
Informações relevantes do enunciado:
  • A equação diferencial está escrita na forma M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0 com M(x,y)=2x y+\cos x,\qquad N(x,y)=x^{2}+2y.
  • Há uma condição inicial y(0)=1.
  • A tarefa é encontrar a solução y(x) que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial.]

Passo 2

Vamos verificar se a equação é exata. Explicando rapidamente o conceito: uma equação na forma M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0 é exata se existe uma função \Psi(x,y) tal que d\Psi = \Psi_x\,dx+\Psi_y\,dy = M\,dx+N\,dy. Uma forma prática de checar isso é comparar derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y}\quad\text{e}\quad\frac{\partial N}{\partial x}.
Se forem iguais num domínio, a equação é exata.
Calculemos:
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(2x y+\cos x)=2x,
\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(x^{2}+2y)=2x.
Como \dfrac{\partial M}{\partial y}=\dfrac{\partial N}{\partial x}=2x, a equação é exata.

Passo 3

Por ser exata, existe \Psi(x,y) tal que \Psi_x=M e \Psi_y=N. Vamos achar \Psi integrando M em relação a x, tratando y como constante. Isso é porque \Psi_x=M implica
\Psi(x,y)=\int M(x,y)\,dx = \int (2x y+\cos x)\,dx.
Fazendo a integral termo a termo:
\int 2x y\,dx = y\int 2x\,dx = y\cdot x^{2},
\int \cos x\,dx = \sin x.
Como a integração em x pode deixar uma função dependente apenas de y, adicionamos uma função h(y). Assim:
\Psi(x,y)=x^{2}y + \sin x + h(y).

Passo 4

Agora usamos a condição \Psi_y=N para determinar h(y). Diferenciando \Psi em relação a y:
\Psi_y = x^{2} + h'(y).
Devemos ter \Psi_y = N = x^{2}+2y. Igualando:
x^{2} + h'(y) = x^{2}+2y \quad\Longrightarrow\quad h'(y)=2y.
Integramos h'(y) em relação a y:
h(y)=\int 2y\,dy = y^{2} + C_{0},
onde C_{0} é constante. Podemos incorporá-la depois em uma constante geral C da solução.

Passo 5

Portanto uma função potencial é
\Psi(x,y)=x^{2}y + \sin x + y^{2}.
A equação diferencial exata dá a família de curvas de nível
\Psi(x,y)=C,
ou seja a solução implícita geral é
x^{2}y + \sin x + y^{2} = C.

Passo 6

Usamos a condição inicial y(0)=1 para determinar C. Substituindo x=0 e y=1 em \Psi:
\Psi(0,1)=0^{2}\cdot 1 + \sin 0 + 1^{2} = 0 + 0 + 1 = 1.
Logo C=1. A solução implícita particular que satisfaz o PVI é
x^{2}y + \sin x + y^{2} = 1.

Passo 7

Se for desejável obter y explicitamente em função de x, reorganizamos a equação como uma equação quadrática em y:
y^{2} + x^{2}y + (\sin x - 1)=0.
Aplicamos a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Para uma equação ay^{2}+by+c=0 com a=1, b=x^{2}, c=\sin x-1, as raízes são
y = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} = \frac{-x^{2} \pm \sqrt{x^{4} - 4(\sin x - 1)}}{2}.
O discriminante é
\Delta = x^{4} - 4\sin x + 4.
Para escolher o sinal correto usamos a condição inicial y(0)=1. Em x=0 obtemos
y(0) = \frac{0 \pm \sqrt{0 - 0 + 4}}{2} = \frac{\pm 2}{2} = \pm 1.
A condição exige y(0)=1, portanto devemos escolher o sinal +. Assim a solução explícita que satisfaz o PVI é
y(x)=\frac{-x^{2} + \sqrt{x^{4} - 4\sin x + 4}}{2}.
Obs.: a solução implícita x^{2}y + \sin x + y^{2}=1 é válida sempre; a forma explícita exige que o radicando \Delta seja não negativo na região considerada.

Resposta

x^{2}y + \sin x + y^{2} = 1\n
y(x)=\dfrac{-x^{2} + \sqrt{x^{4} - 4\sin x + 4}}{2}

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