(\mathbf{2 , 0} pts) Resolva os seguintes PVI’s:
\left{
\right.
\left{
Passo 1
O enunciado dá um problema de valor inicial (PVI) e pede que se resolva:
Informações relevantes do enunciado:
- A equação diferencial está escrita na forma
com - Há uma condição inicial
. - A tarefa é encontrar a solução
que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial.]
Passo 2
Vamos verificar se a equação é exata. Explicando rapidamente o conceito: uma equação na forma
é exata se existe uma função
tal que
. Uma forma prática de checar isso é comparar derivadas parciais:
Se forem iguais num domínio, a equação é exata.
Calculemos:
Como
, a equação é exata.
Passo 3
Por ser exata, existe
tal que
e
. Vamos achar
integrando
em relação a
, tratando
como constante. Isso é porque
implica
Fazendo a integral termo a termo:
Como a integração em
pode deixar uma função dependente apenas de
, adicionamos uma função
. Assim:
Passo 4
Agora usamos a condição
para determinar
. Diferenciando
em relação a
:
Devemos ter
. Igualando:
Integramos
em relação a
:
onde
é constante. Podemos incorporá-la depois em uma constante geral
da solução.
Passo 5
Portanto uma função potencial é
A equação diferencial exata dá a família de curvas de nível
ou seja a solução implícita geral é
Passo 6
Usamos a condição inicial
para determinar
. Substituindo
e
em
:
Logo
. A solução implícita particular que satisfaz o PVI é
Passo 7
Se for desejável obter
explicitamente em função de
, reorganizamos a equação como uma equação quadrática em
:
Aplicamos a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Para uma equação
com
,
,
, as raízes são
O discriminante é
Para escolher o sinal correto usamos a condição inicial
. Em
obtemos
A condição exige
, portanto devemos escolher o sinal
. Assim a solução explícita que satisfaz o PVI é
Obs.: a solução implícita
é válida sempre; a forma explícita exige que o radicando
seja não negativo na região considerada.