1^{\mathbf{a}} Questão. Considere o espaço vetorial V=\mathbb{R}^{3}. Verifique se
W=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x-2 y+3 z=0\right\}
é um subespaço vetorial de V. Justifique cuidadosamente.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
W=\left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid x-2y+3z=0\right\}
é um subespaço vetorial de V=\mathbb{R}^{3}. Informações dadas: a condição que define W (a equação linear homogênea \,x-2y+3z=0\,). Pergunta: provar, com justificativa cuidadosa, se W é ou não um subespaço de V.

Passo 2

O que significa provar que um conjunto W\subseteq V é subespaço vetorial? Vou te explicar passo a passo, sem pular nada. Para W ser subespaço de V precisamos verificar três propriedades básicas:
  1. W não é vazio (normalmente mostramos que o vetor zero de V pertence a W).
  2. W é fechado sob adição: se \mathbf{u}\in W e \mathbf{v}\in W, então \mathbf{u}+\mathbf{v}\in W.
  3. W é fechado sob multiplicação por escalar: se \mathbf{u}\in W e c\in\mathbb{R}, então c\mathbf{u}\in W.
Essas três propriedades são suficientes porque herdam todas as outras propriedades de espaço vetorial (associatividade, comutatividade etc.) já existentes em V. Vou aplicar cada uma a W.

Passo 3

Verificar que W contém o vetor zero. O vetor zero em \mathbb{R}^{3} é (0,0,0). Substituindo na equação que define W temos:
0-2\cdot 0+3\cdot 0=0.
Como a igualdade é verdadeira, (0,0,0)\in W. Logo W não é vazio.

Passo 4

Verificar fechamento sob adição. Pegue dois vetores quaisquer em W:
\mathbf{u}=(x_{1},y_{1},z_{1})\in W\quad\text{e}\quad \mathbf{v}=(x_{2},y_{2},z_{2})\in W.
Pelo fato de pertencerem a W, eles satisfazem
x_{1}-2y_{1}+3z_{1}=0 \qquad\text{e}\qquad x_{2}-2y_{2}+3z_{2}=0.
Agora somamos \mathbf{u}+\mathbf{v}=(x_{1}+x_{2},\,y_{1}+y_{2},\,z_{1}+z_{2}). Verificamos se este soma pertence a W calculando a expressão da condição:
(x_{1}+x_{2})-2(y_{1}+y_{2})+3(z_{1}+z_{2})
Agrupando termos:
=(x_{1}-2y_{1}+3z_{1})+(x_{2}-2y_{2}+3z_{2}).
Cada parêntese é zero (pela hipótese), logo a soma é 0+0=0. Portanto \mathbf{u}+\mathbf{v}\in W. Assim W é fechado sob adição.

Passo 5

Verificar fechamento sob multiplicação por escalar. Pegue \mathbf{u}=(x_{1},y_{1},z_{1})\in W e um escalar c\in\mathbb{R}. Como \mathbf{u}\in W,
x_{1}-2y_{1}+3z_{1}=0.
Considere c\mathbf{u}=(cx_{1},\,cy_{1},\,cz_{1}). Avaliamos a condição em c\mathbf{u}:
(cx_{1})-2(cy_{1})+3(cz_{1}) = c\,(x_{1}-2y_{1}+3z_{1}).
Como x_{1}-2y_{1}+3z_{1}=0, o produto é c\cdot 0=0. Assim c\mathbf{u}\in W. Portanto W é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 6

Concluímos, pelos passos anteriores (contém o vetor zero, fechado sob adição e fechado sob multiplicação por escalar), que W é um subespaço vetorial de V=\mathbb{R}^{3}.
Complemento didático (útil para a prova): perceba que W é o conjunto de soluções da equação linear homogênea \,x-2y+3z=0. Conjuntos de soluções de sistemas lineares homogêneos sempre formam subespaços. Podemos também parametrizar W explicitamente para intuir sua forma: resolvendo para x obtemos \,x=2y-3z, então
(x,y,z)=(2y-3z,y,z)=y(2,1,0)+z(-3,0,1).
Daí vemos que W é um plano que passa pela origem e que tem como geradores (base possível) os vetores (2,1,0) e (-3,0,1), o que mostra \dim W=2. Isso não era pedido, mas ajuda a entender geometricamente o porquê de W ser subespaço.

Resposta

W é um subespaço vetorial de V=\mathbb{R}^{3}.

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