Questão. Considere o espaço vetorial
. Verifique se
é um subespaço vetorial de
. Justifique cuidadosamente.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto
é um subespaço vetorial de
. Informações dadas: a condição que define
(a equação linear homogênea
). Pergunta: provar, com justificativa cuidadosa, se
é ou não um subespaço de
.
Passo 2
O que significa provar que um conjunto
é subespaço vetorial? Vou te explicar passo a passo, sem pular nada. Para
ser subespaço de
precisamos verificar três propriedades básicas:
-
não é vazio (normalmente mostramos que o vetor zero de pertence a ). -
é fechado sob adição: se e , então . -
é fechado sob multiplicação por escalar: se e , então .
Essas três propriedades são suficientes porque herdam todas as outras propriedades de espaço vetorial (associatividade, comutatividade etc.) já existentes em
. Vou aplicar cada uma a
.
Passo 3
Verificar que
contém o vetor zero. O vetor zero em
é
. Substituindo na equação que define
temos:
Como a igualdade é verdadeira,
. Logo
não é vazio.
Passo 4
Verificar fechamento sob adição. Pegue dois vetores quaisquer em
:
Pelo fato de pertencerem a
, eles satisfazem
Agora somamos
. Verificamos se este soma pertence a
calculando a expressão da condição:
Agrupando termos:
Cada parêntese é zero (pela hipótese), logo a soma é
. Portanto
. Assim
é fechado sob adição.
Passo 5
Verificar fechamento sob multiplicação por escalar. Pegue
e um escalar
. Como
,
Considere
. Avaliamos a condição em
:
Como
, o produto é
. Assim
. Portanto
é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 6
Concluímos, pelos passos anteriores (contém o vetor zero, fechado sob adição e fechado sob multiplicação por escalar), que
é um subespaço vetorial de
.
Complemento didático (útil para a prova): perceba que
é o conjunto de soluções da equação linear homogênea
. Conjuntos de soluções de sistemas lineares homogêneos sempre formam subespaços. Podemos também parametrizar
explicitamente para intuir sua forma: resolvendo para
obtemos
, então
Daí vemos que
é um plano que passa pela origem e que tem como geradores (base possível) os vetores
e
, o que mostra
. Isso não era pedido, mas ajuda a entender geometricamente o porquê de
ser subespaço.