- Resolva o problema de valor inicial da Equação Diferencial Ordinária de Primeira Ordem com Variáveis Separáveis.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial ordinária com condição inicial:
e a condição inicial
A pergunta é: encontrar a solução particular
que satisfaça a equação diferencial e a condição inicial.
Passo 2
Vamos separar as variáveis — a ideia é colocar todos os termos com
de um lado e todos os termos com
do outro, para depois integrar. Partimos de
Se
podemos dividir ambos os lados por
e multiplicar por
, obtendo
Comentário didático: separar variáveis significa escrever a equação na forma
, para então integrar cada lado. Aqui
e
. Observação: a divisão por
exige
; isso não é problema porque a condição inicial
já garante que a solução procurada não passa por
naquele ponto.
Passo 3
Agora integramos ambos os lados. Lembra que a primitiva de
em termos de
é
. Assim, integrando:
No lado esquerdo fazemos a substituição simples
(então
), então
No lado direito a primitiva de
é
, então
Igualando as duas primitivas e juntando as constantes em uma só constante
(isto é,
), obtemos
Passo 4
Desfazemos o logaritmo exponenciando os dois lados:
Escrevemos
, então
Isso implica
. Podemos incorporar o sinal em uma constante arbitrária
e escrever
Assim
Agora aplicamos a condição inicial
:
Logo
Substituindo
na expressão de
,
Podemos simplificar o produto de exponenciais:
Passo 5
Verificação rápida (útil na prova): calcule a derivada de
. A derivada do expoente
é
, então
Como
, obtemos
logo a solução satisfaz a equação diferencial. A condição inicial também é satisfeita por construção. A solução é bem definida para todo
.