1. Resolva o problema de valor inicial da Equação Diferencial Ordinária de Primeira Ordem com Variáveis Separáveis.
\begin{gathered} \frac{d y}{d x}=x \cdot(1+y) \\\ y(1)=2 \end{gathered}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial ordinária com condição inicial:
\frac{d y}{d x}=x\cdot(1+y)
e a condição inicial
y(1)=2.
A pergunta é: encontrar a solução particular y(x) que satisfaça a equação diferencial e a condição inicial.

Passo 2

Vamos separar as variáveis — a ideia é colocar todos os termos com y de um lado e todos os termos com x do outro, para depois integrar. Partimos de
\frac{d y}{d x}=x\,(1+y).
Se 1+y\neq 0 podemos dividir ambos os lados por 1+y e multiplicar por dx, obtendo
\frac{d y}{1+y}=x\,dx.
Comentário didático: separar variáveis significa escrever a equação na forma \;g(y)\,dy=f(x)\,dx\;, para então integrar cada lado. Aqui g(y)=\dfrac{1}{1+y} e f(x)=x. Observação: a divisão por 1+y exige y\neq -1; isso não é problema porque a condição inicial y(1)=2 já garante que a solução procurada não passa por -1 naquele ponto.

Passo 3

Agora integramos ambos os lados. Lembra que a primitiva de \dfrac{1}{u} em termos de u é \ln|u|. Assim, integrando:
\int \frac{d y}{1+y}=\int x\,dx.
No lado esquerdo fazemos a substituição simples u=1+y (então du=dy), então
\int \frac{d y}{1+y}=\ln|1+y| + C_1.
No lado direito a primitiva de x é \dfrac{x^2}{2}, então
\int x\,dx=\frac{x^2}{2}+C_2.
Igualando as duas primitivas e juntando as constantes em uma só constante C (isto é, C=C_2-C_1), obtemos
\ln|1+y|=\frac{x^2}{2}+C.

Passo 4

Desfazemos o logaritmo exponenciando os dois lados:
|1+y|=e^{\frac{x^2}{2}+C}=e^{C}\,e^{\frac{x^2}{2}}.
Escrevemos A=e^{C}>0, então
|1+y|=A\,e^{\frac{x^2}{2}}.
Isso implica 1+y=\pm A\,e^{\frac{x^2}{2}}. Podemos incorporar o sinal em uma constante arbitrária K\in\mathbb{R}\setminus\{0\} e escrever
1+y=K\,e^{\frac{x^2}{2}}.
Assim
y=K\,e^{\frac{x^2}{2}}-1.
Agora aplicamos a condição inicial y(1)=2:
2=K\,e^{\frac{1^2}{2}}-1.
Logo
K\,e^{\frac{1}{2}}=3 \quad\Rightarrow\quad K=3e^{-\frac{1}{2}}.
Substituindo K na expressão de y,
y(x)=3e^{-\frac{1}{2}}\,e^{\frac{x^2}{2}}-1.
Podemos simplificar o produto de exponenciais:
y(x)=3e^{\frac{x^2-1}{2}}-1.

Passo 5

Verificação rápida (útil na prova): calcule a derivada de y(x)=3e^{\frac{x^2-1}{2}}-1. A derivada do expoente \frac{x^2-1}{2} é x, então
\frac{dy}{dx}=3e^{\frac{x^2-1}{2}}\cdot x.
Como 1+y=1+3e^{\frac{x^2-1}{2}}-1=3e^{\frac{x^2-1}{2}}, obtemos
\frac{dy}{dx}=x\cdot(1+y),
logo a solução satisfaz a equação diferencial. A condição inicial também é satisfeita por construção. A solução é bem definida para todo x\in\mathbb{R}.

Resposta

y(x)=3e^{\frac{x^{2}-1}{2}}-1

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