1. Resolva a seguinte Equação Diferencial Homogênea:
\frac{d y}{d x}=\frac{x^{2}-y^{2}}{x \cdot y}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária
\frac{d y}{d x}=\frac{x^{2}-y^{2}}{x\cdot y}.
Informações relevantes fornecidas:
\text{(i)}\;\; \frac{d y}{d x}=\frac{x^{2}-y^{2}}{x\cdot y}.
\text{(ii)}\;\; \text{A expressão do lado direito só faz sentido quando }x\neq 0\text{ e }y\neq 0.ãó
O objetivo é encontrar a solução geral (constante de integração incluída) da equação diferencial para as regiões onde a expressão está definida.

Passo 2

Observação e ideia de substituição: note que o lado direito depende só da razão y/x, pois
\frac{x^{2}-y^{2}}{x\cdot y}=\frac{x^{2}\bigl(1-(y/x)^{2}\bigr)}{x\cdot y}=\frac{1-(y/x)^{2}}{y/x}.
Quando uma EDO tem essa dependência só em y/x, é conveniente usar a substituição
y=vx,
onde \;v=v(x)\; é uma nova função de x. Essa substituição transforma a EDO em uma que envolve v e x (mais fácil de separar).

Passo 3

Derivando a substituição \;y=vx\; em relação a x obtemos
\frac{d y}{d x}=v + x\frac{d v}{d x}.
Substituindo na EDO original:
v + x\frac{d v}{d x}=\frac{1-v^{2}}{v}.
Agora isolamos o termo com \frac{d v}{d x}:
x\frac{d v}{d x}=\frac{1-v^{2}}{v}-v=\frac{1-2v^{2}}{v}.

Passo 4

Separação de variáveis: reescrevemos para separar v e x:
\frac{v}{1-2v^{2}}\,d v=\frac{d x}{x}.
Explicando a separação: multiplicamos ambos os lados por \frac{v}{1-2v^{2}} e por \frac{1}{x} de modo a ter um lado só com v e o outro só com x.

Passo 5

Integramos ambos os lados. Começamos pela integral em v:
\int \frac{v}{1-2v^{2}}\,d v.
Fazemos a substituição auxiliar \;u=1-2v^{2}\;, então \;d u=-4v\,d v\;, ou seja \;v\,d v=-\frac{1}{4}\,d u\;. Assim
\int \frac{v}{1-2v^{2}}\,d v=-\frac{1}{4}\int\frac{d u}{u}=-\frac{1}{4}\ln\bigl|u\bigr|+C_1=-\frac{1}{4}\ln\bigl|1-2v^{2}\bigr|+C_1.
A integral do lado direito é
\int\frac{d x}{x}=\ln|x|+C_2.
Igualando as duas integrais (absorvendo constantes numa só constante C):
-\frac{1}{4}\ln\bigl|1-2v^{2}\bigr|=\ln|x|+C.

Passo 6

Manipulamos a expressão para isolar a relação entre v e x. Multiplicando por -4:
\ln\bigl|1-2v^{2}\bigr|=-4\ln|x|+C_3.
Usando propriedades do logaritmo isso é equivalente a
\ln\bigl|1-2v^{2}\bigr|=\ln\bigl(|x|^{-4}\bigr)+C_3.
Exponenciando e absorvendo constantes multiplicativas numa constante K arbitrária (pode ser positiva ou negativa porque estamos tirando valor absoluto),
\bigl|1-2v^{2}\bigr|=K x^{-4}.
Retirando o valor absoluto numa constante genérica C (que pode assumir sinais positivos e negativos), obtemos a forma implícita conveniente:
1-2v^{2}=C x^{-4}.

Passo 7

Voltando à variável original \;v=y/x\;, substituímos:
1-2\left(\frac{y}{x}\right)^{2}=C x^{-4}.
Multiplicando ambos os lados por x^{4} para simplificar a aparência:
x^{4}-2x^{2}y^{2}=C.
Esta é a solução geral implícita da EDO, onde C é a constante arbitrária de integração.

Passo 8

Observação sobre soluções especiais: as retas y=\pm\frac{x}{\sqrt{2}} correspondem ao caso em que v=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}, que faz 1-2v^{2}=0. Essas linhas aparecem quando C=0 na solução implícita, pois então
x^{4}-2x^{2}y^{2}=0\quad\Longrightarrow\quad y=\pm\frac{x}{\sqrt{2}}\quad(\text{para }x\neq 0).

Resposta

x^{4}-2x^{2}y^{2}=C
\text{Equivalente: }\;y=\pm x\sqrt{\frac{1-Cx^{-4}}{2}}

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