\mathbf{1}^{\mathbf{a}} QUESTÃO: Em determinada indústria, um reservatório contém água a 25^{\circ} \mathrm{C}. Para ser utilizada no processo, é necessário que ela seja aquecida até 75^{\circ} \mathrm{C}, com uma vazão de 1,5 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}. O engenheiro opta pelo uso de um aquecedor, que consiste em um trocador de calor de tubo duplo, configuração contracorrente, em que o fluido quente será vapor superaquecido a 150^{\circ} \mathrm{C}, disponível a uma vazão de 2 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}. O tubo interno possui parede de espessura muito pequena, de modo que o seu diâmetro (interno e externo) pode ser considerado como 2,0 \mathrm{~cm}. Determine o comprimento necessário para este trocador de calor, admitindo que para esta aplicação o coeficiente global de transferência de calor é de 1000 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m}^{2} . \mathrm{K}\right). Adote: ćágua =4,18 \mathrm{~kJ} /(\mathrm{kg} . \mathrm{K}) ; c_{\text {vapor }}=2,00 \mathrm{~kJ} /(\mathrm{kg} . \mathrm{K}).

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados (retirados do enunciado):
    • Vazão de água fria: \dot{m}_c = 1,5\\ \mathrm{kg/s}.
    • Temperatura da água na entrada: T_{c,\text{in}} = 25^\circ\mathrm{C}.
    • Temperatura da água na saída desejada: T_{c,\text{out}} = 75^\circ\mathrm{C}.
    • Calor específico da água: c_c = 4{,}18\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
    • Vazão do vapor quente: \dot{m}_h = 2{,}0\\ \mathrm{kg/s}.
    • Temperatura do vapor quente na entrada: T_{h,\text{in}} = 150^\circ\mathrm{C}.
    • Calor específico do vapor (fluido quente): c_h = 2{,}00\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
    • Diâmetro do tubo interno (assume-se superfície de troca): D = 2{,}0\\ \mathrm{cm} = 0{,}02\\ \mathrm{m}.
    • Coeficiente global de transferência de calor: U = 1000\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
  • O que o problema pede:
    • Determinar o comprimento L necessário do trocador de calor de tubo duplo em contracorrente, supondo parede de espessura desprezível (logo área de troca A=\pi D L).

Passo 2

Primeiro calculemos a taxa de calor necessária para aquecer a água (a potência térmica que o trocador deve fornecer).
  • Fórmula de balanço térmico para o fluido frio:
    \dot{Q} = \dot{m}_c\, c_c\, \left(T_{c,\text{out}}-T_{c,\text{in}}\right).
    Explicando a fórmula: \dot{Q} é a potência de calor (em W), \dot{m}_c é a vazão mássica (kg/s), c_c é o calor específico (J/(kg·K)) e \Delta T é a variação de temperatura do fluido que é aquecido. Multiplicando tudo dá joules por segundo = watts.
  • Atenção às unidades: os c no enunciado estão em kJ/(kg·K). Vou converter para J/(kg·K):
    c_c = 4{,}18\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} = 4180\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
  • Agora calcular \dot{Q}:
    \dot{Q} = 1{,}5\cdot 4180\cdot(75-25)
\dot{Q} = 1{,}5\cdot 4180\cdot 50 = 313500\\ \mathrm{W}.
Portanto, a potência requerida é \dot{Q}=313500\\ \mathrm{W} (ou 313{,}5\\ \mathrm{kW}).

Passo 3

Usamos o balanço de energia também no lado quente para obter a temperatura de saída do vapor (pois o vapor não condensa; é apenas resfriado).
  • Conversão do c_h para J/(kg·K):
    c_h = 2{,}00\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} = 2000\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
  • Balanço de energia no lado quente (assumindo que toda a energia cedida pelo vapor vai para a água):
    \dot{Q} = \dot{m}_h\, c_h\, \left(T_{h,\text{in}}-T_{h,\text{out}}\right).
    Despejando para T_{h,\text{out}}:
    T_{h,\text{out}} = T_{h,\text{in}} - \frac{\dot{Q}}{\dot{m}_h\, c_h}.
  • Substituindo números:
    T_{h,\text{out}} = 150 - \frac{313500}{2{,}0\cdot 2000}.
    Calcule o denominador: 2{,}0\cdot 2000 = 4000. Então
    T_{h,\text{out}} = 150 - \frac{313500}{4000} = 150 - 78{,}375 = 71{,}625^\circ\mathrm{C}.
  • Interpretação rápida: o vapor entra a 150^\circ\mathrm{C} e sai a cerca de 71{,}63^\circ\mathrm{C}. Observe que isso é compatível fisicamente numa configuração contracorrente (a água sai a 75^\circ\mathrm{C}, abaixo do máximo possível que é T_{h,\text{in}}=150^\circ\mathrm{C}).

Passo 4

Agora precisamos do log-mean temperature difference (LMTD) para um trocador contracorrente. Vou explicar o conceito e a fórmula:
  • Conceito: em um trocador de calor a diferença de temperatura entre os fluidos não é constante ao longo do comprimento. O LMTD é uma média logarítmica que representa a diferença de temperatura “efetiva” para uso na lei de resfriamento global
    \dot{Q} = U\, A\, \Delta T_\text{lm},
    onde A é a área de troca e \Delta T_\text{lm} é o LMTD.
  • Para contracorrente, definem-se as diferenças térmicas nas extremidades:
    \Delta T_1 = T_{h,\text{in}} - T_{c,\text{out}}, \qquad \Delta T_2 = T_{h,\text{out}} - T_{c,\text{in}}.
    A fórmula do LMTD é
    \Delta T_\text{lm} = \frac{\Delta T_1 - \Delta T_2}{\ln\!\left(\dfrac{\Delta T_1}{\Delta T_2}\right)}.
    (Essa fórmula vem da integração da diferença de temperaturas ao longo do comprimento, sob hipóteses de cp constantes.)

Passo 5

Calculemos \Delta T_1, \Delta T_2 e \Delta T_\text{lm}.
  • Valores: \Delta T_1 = T_{h,\text{in}} - T_{c,\text{out}} = 150 - 75 = 75\\ \mathrm{K}.
\Delta T_2 = T_{h,\text{out}} - T_{c,\text{in}} = 71{,}625 - 25 = 46{,}625\\ \mathrm{K}.
  • Agora o LMTD: \Delta T_\text{lm} = \frac{75 - 46{,}625}{\ln\!\left(\dfrac{75}{46{,}625}\right)} = \frac{28{,}375}{\ln(1{,}608695652)}.Calcule o logaritmo natural: \ln(1{,}608695652)\approx 0{,}475885. Assim \Delta T_\text{lm} \approx \frac{28{,}375}{0{,}475885} \approx 59{,}61\\ \mathrm{K}.

Passo 6

Com a LMTD e o coeficiente U podemos achar a área de troca A necessária:
  • Fórmula:
    A = \frac{\dot{Q}}{U\,\Delta T_\text{lm}}.
  • Substituindo:
    A = \frac{313500}{1000\cdot 59{,}61} \approx \frac{313500}{59610} \approx 5{,}259\\ \mathrm{m^2}.

Passo 7

Transformar a área de troca na medida do comprimento do tubo interno. Com parede desprezível, a área lateral por comprimento é a=\pi D (área por unidade de comprimento), então A=\pi D L. Logo
L = \frac{A}{\pi D}.
  • Substituindo A e D: L = \frac{5{,}259}{\pi\cdot 0{,}02}.Calcule \pi\cdot 0{,}02 \approx 0{,}0628319. Então L \approx \frac{5{,}259}{0{,}0628319} \approx 83{,}7\\ \mathrm{m}.

Passo 8

Pequena verificação de consistência (mentally): a área obtida é da ordem de poucos metros quadrados, com diâmetro pequeno isso resulta em comprimento alto — faz sentido físico: tubulação de 2 cm de diâmetro tem pouca área por metro, logo precisa de comprimento grande para transferir ~313 kW com U=1000\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)} e LMTD de ~60 K.

Resposta

L \approx 83{,}7\\ \mathrm{m}

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