Questão - Uma etapa na fabricação de fibras ópticas é a deposição química de vapor de silano,
, na superfície interna de uma fibra de vidro oca para formar um revestimento muito fino de silício sólido pela reação:
O processo é realizado a uma temperatura de 900 K e uma pressão do sistema de
silano (Espécie A ) é diluído a
em mol no gás inerte hélio (Espécie B ) transportador. A difusividade binária do silano no hélio a 298 K e
é de
e a viscosidade cinemática do gás hélio a 900 K é de
. Determine o número de Schmidt do silano (g) no gás transportador hélio (g).
Passo 1
O enunciado pede para determinar o número de Schmidt do silano (
, espécie A) no gás transportador hélio (espécie B) nas condições do processo. Informações dadas:
- Reação e contexto (apenas contextual): deposição de
em 900 K e pressão do sistema . - Fração molar do silano:
(não será necessária para o cálculo do número de Schmidt salvo para justificar a diluição). - Difusividade binária fornecida (nas condições de referência):
a e . (Peguei este valor do enunciado.) - Viscosidade cinemática do gás hélio (na condição de interesse):
a . (Peguei este valor do enunciado.) - Condições onde se quer o Schmidt:
e .
O que se pede exatamente: calcular o número de Schmidt de
em hélio sob
e
, usando os dados acima.
Passo 2
Definição e fórmula do número de Schmidt. Vou explicar devagarinho e de forma clara.
- O número de Schmidt,
, é uma razão entre a difusividade de momento (viscosidade cinemática) e a difusividade de massa (difusividade binária). Em símbolos:
onde:
-
é a viscosidade cinemática do fluido (também chamada de difusividade de momento), com unidades típicas de neste problema; -
é a difusividade binária da espécie A em B (difusão molecular), também em .
Interpretação física curta:
compara quanto o momento (velocidade) se difunde em relação à massa. Se
, a massa difunde muito mais rápido que o momento; se
, a massa difunde mais devagar.
No nosso caso precisamos de
nas condições
. O enunciado deu
numa condição de referência
, então vamos ajustar para a condição desejada.
Passo 3
Como ajustar a difusividade de
de
para
. Princípio e aproximação usada:
- Pela teoria cinética/Chapman–Enskog, a difusividade binária para um par gasoso tem dependência aproximada
quando se compara a mesma dupla de gases e se despreza variações do chamado integral de colisão (que muda pouco com
). Como aqui o par (SiH
-He) é o mesmo, podemos usar a escala:
(Explicando: aumento de temperatura aumenta as velocidades moleculares e aumenta a difusividade; aumento de pressão reduz a difusividade por colisões mais frequentes.)
Agora aplico a fórmula com os números dados. Primeiro escrevo a expressão para
:
Substituindo os valores (todos em unidades consistentes; vou manter
para
e
, e Pa para pressões):
-
, -
, , -
, .
Calculo passo a passo:
- Razão de temperaturas:
- Elevo à potência
:
- Razão de pressões:
- Produto dos fatores:
- Difusividade ajustada:
Comentário rápido: o valor aumenta muito porque a pressão alvo
é muito menor que a pressão padrão
, e
varia inversamente com
.
Passo 4
Cálculo final do número de Schmidt e interpretação:
Agora uso a definição
com
(fornecido pelo enunciado a
) e o
que calculei.
Unidades: ambas as quantidades estão em
, então
é adimensional, como esperado.
Interpretação curta e encorajamento: esse valor pequeno (
) indica que, nas condições a baixa pressão, a difusão molecular do silano no hélio é muito rápida em comparação com a difusão de momento (viscosidade). Para a prova: lembre que o passo crítico foi ajustar
às condições usando a dependência
— justifique essa aproximação se pedirem.