\mathbf{1 0}^{\mathbf{a}} Questão - Uma etapa na fabricação de fibras ópticas é a deposição química de vapor de silano, \mathrm{SiH}_{4}, na superfície interna de uma fibra de vidro oca para formar um revestimento muito fino de silício sólido pela reação:
\mathrm{SiH}_{4}(g) \rightarrow \mathrm{Si}(s)+2 \mathrm{H}_{2}(g)
O processo é realizado a uma temperatura de 900 K e uma pressão do sistema de 100 \mathrm{~Pa} . \mathrm{O} silano (Espécie A ) é diluído a 1,0 \% em mol no gás inerte hélio (Espécie B ) transportador. A difusividade binária do silano no hélio a 298 K e 101,3 \mathrm{kPa} é de 0,518 \mathrm{~cm}^{2} / \mathrm{s} e a viscosidade cinemática do gás hélio a 900 K é de 5,6 \mathrm{~cm}^{2} / \mathrm{s}. Determine o número de Schmidt do silano (g) no gás transportador hélio (g).

Passo 1

O enunciado pede para determinar o número de Schmidt do silano ( \mathrm{SiH}_4, espécie A) no gás transportador hélio (espécie B) nas condições do processo. Informações dadas:
  • Reação e contexto (apenas contextual): deposição de \mathrm{SiH}_4 em 900 K e pressão do sistema 100\\ \mathrm{Pa}.
  • Fração molar do silano: 1{,}0\% (não será necessária para o cálculo do número de Schmidt salvo para justificar a diluição).
  • Difusividade binária fornecida (nas condições de referência): D_{AB,1}=0{,}518\\ \mathrm{cm}^2\!/\mathrm{s} a T_1=298\\ \mathrm{K} e P_1=101{,}3\\ \mathrm{kPa}=101300\\ \mathrm{Pa}. (Peguei este valor do enunciado.)
  • Viscosidade cinemática do gás hélio (na condição de interesse): \nu = 5{,}6\\ \mathrm{cm}^2\!/\mathrm{s} a 900\\ \mathrm{K}. (Peguei este valor do enunciado.)
  • Condições onde se quer o Schmidt: T_2=900\\ \mathrm{K} e P_2=100\\ \mathrm{Pa}.
O que se pede exatamente: calcular o número de Schmidt de \mathrm{SiH}_4 em hélio sob T_2 e P_2, usando os dados acima.

Passo 2

Definição e fórmula do número de Schmidt. Vou explicar devagarinho e de forma clara.
  • O número de Schmidt, \mathrm{Sc}, é uma razão entre a difusividade de momento (viscosidade cinemática) e a difusividade de massa (difusividade binária). Em símbolos:
\mathrm{Sc}=\frac{\nu}{D_{AB}},
onde:
  • \nu é a viscosidade cinemática do fluido (também chamada de difusividade de momento), com unidades típicas de \mathrm{cm}^2\!/\mathrm{s} neste problema;
  • D_{AB} é a difusividade binária da espécie A em B (difusão molecular), também em \mathrm{cm}^2\!/\mathrm{s}.
Interpretação física curta: \mathrm{Sc} compara quanto o momento (velocidade) se difunde em relação à massa. Se \mathrm{Sc}\ll1, a massa difunde muito mais rápido que o momento; se \mathrm{Sc}\gg1, a massa difunde mais devagar.
No nosso caso precisamos de D_{AB} nas condições (T_2,P_2). O enunciado deu D_{AB} numa condição de referência (T_1,P_1), então vamos ajustar para a condição desejada.

Passo 3

Como ajustar a difusividade de D_{AB} de (T_1,P_1) para (T_2,P_2). Princípio e aproximação usada:
  • Pela teoria cinética/Chapman–Enskog, a difusividade binária para um par gasoso tem dependência aproximada
D_{AB}\propto\frac{T^{3/2}}{P},
quando se compara a mesma dupla de gases e se despreza variações do chamado integral de colisão (que muda pouco com T). Como aqui o par (SiH _4-He) é o mesmo, podemos usar a escala:
\frac{D_{AB,2}}{D_{AB,1}}=\left(\frac{T_2}{T_1}\right)^{3/2}\frac{P_1}{P_2}.
(Explicando: aumento de temperatura aumenta as velocidades moleculares e aumenta a difusividade; aumento de pressão reduz a difusividade por colisões mais frequentes.)
Agora aplico a fórmula com os números dados. Primeiro escrevo a expressão para D_{AB,2}:
D_{AB,2} = D_{AB,1}\left(\frac{T_2}{T_1}\right)^{3/2}\frac{P_1}{P_2}.
Substituindo os valores (todos em unidades consistentes; vou manter \mathrm{cm}^2\!/\mathrm{s} para D e \nu, e Pa para pressões):
  • D_{AB,1}=0{,}518\\ \mathrm{cm}^2\!/\mathrm{s},
  • T_1=298\\ \mathrm{K}, T_2=900\\ \mathrm{K},
  • P_1=101300\\ \mathrm{Pa}, P_2=100\\ \mathrm{Pa}.
Calculo passo a passo:
  1. Razão de temperaturas:
\frac{T_2}{T_1}=\frac{900}{298}\approx 3{,}020134.
  1. Elevo à potência 3/2:
\left(\frac{900}{298}\right)^{3/2}\approx 3{,}020134^{1{,}5}\approx 5{,}2516\quad(\text{aprox.}).
  1. Razão de pressões:
\frac{P_1}{P_2}=\frac{101300}{100}=1013.
  1. Produto dos fatores:
\left(\frac{T_2}{T_1}\right)^{3/2}\frac{P_1}{P_2}\approx 5{,}2516\times 1013 \approx 5319{,}87.
  1. Difusividade ajustada:
D_{AB,2}=0{,}518\times 5319{,}87 \approx 2755{,}7\\ \mathrm{cm}^2\!/\mathrm{s}.
Comentário rápido: o valor aumenta muito porque a pressão alvo 100\\ \mathrm{Pa} é muito menor que a pressão padrão 101{,}3\\ \mathrm{kPa}, e D varia inversamente com P.

Passo 4

Cálculo final do número de Schmidt e interpretação:
Agora uso a definição \mathrm{Sc}=\dfrac{\nu}{D_{AB,2}} com \nu=5{,}6\\ \mathrm{cm}^2\!/\mathrm{s} (fornecido pelo enunciado a 900\\ \mathrm{K}) e o D_{AB,2} que calculei.
\mathrm{Sc}=\frac{5{,}6}{2755{,}7}\approx 0{,}002032.
Unidades: ambas as quantidades estão em \mathrm{cm}^2\!/\mathrm{s}, então \mathrm{Sc} é adimensional, como esperado.
Interpretação curta e encorajamento: esse valor pequeno ( \sim 2{,}0\times10^{-3}) indica que, nas condições a baixa pressão, a difusão molecular do silano no hélio é muito rápida em comparação com a difusão de momento (viscosidade). Para a prova: lembre que o passo crítico foi ajustar D às condições usando a dependência \propto T^{3/2}/P — justifique essa aproximação se pedirem.

Resposta

\mathrm{Sc}\approx 2{,}03\times10^{-3}

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