3.22 Uma pessoa coloca a mão para fora de um automóvel que se desloca com uma velocidade de 105 \mathrm{~km} / \mathrm{h} numa atmosfera estagnada. Qual é a máxima pressão que atua na mão exposta ao escoamento? Qual seria o valor desta pressão máxima se a velocidade do automóvel fosse igual a 354 \mathrm{~km} / \mathrm{h} ? Admita que a atmosfera se comporte como a padrão.

Passo 1

O enunciado dá: a mão está exposta ao escoamento que é produzido pelo automóvel em repouso relativo da atmosfera; pedem a máxima pressão que atua na mão para duas velocidades do automóvel. Dados numéricos fornecidos no enunciado:
  • Velocidade 1: 105\\ \mathrm{km/h}.
  • Velocidade 2: 354\\ \mathrm{km/h}.
    Condição adicional: “admita que a atmosfera se comporte como a padrão”. Informação que vou usar a partir disso:
  • Densidade do ar ao nível do mar na atmosfera padrão: \rho = 1{,}225\\ \mathrm{kg/m^3}.
  • Pressão estática atmosférica ao nível do mar: p_{\infty}=101\,325\\ \mathrm{Pa} (valor padrão).
    Perguntas explícitas a responder:
  • Qual a máxima pressão que atua na mão exposta quando V=105\\ \mathrm{km/h}?
  • Qual a máxima pressão que atua na mão exposta quando V=354\\ \mathrm{km/h}?

Passo 2

Entendimento físico e fórmula que vou usar (explicação didática).
Quando a mão fica exposta ao escoamento do ar, a região da mão onde o escoamento é trazido praticamente a repouso (ponto de estagnação) sofre a maior pressão possível fornecida pelo fluido. Para escoamentos incompressíveis e sem troca de calor entre dois pontos numa mesma linha de corrente, a versão simples da equação de Bernoulli dá a relação entre a pressão estática longe do corpo e a pressão no ponto de estagnação:
p_{\text{estagnação}}=p_{\infty}+\tfrac{1}{2}\,\rho\,V^{2}.çã
Aqui:
  • p_{\text{estagnação}}çã é a pressão máxima absoluta no ponto de estagnação (Pa).
  • p_{\infty} é a pressão atmosférica estática distante do corpo (Pa).
  • \rho é a densidade do ar (kg/m²).
  • V é a velocidade do ar em relação à mão, ou seja, a velocidade do automóvel (m/s).
    A parcela adicional \tfrac{1}{2}\rho V^{2} é chamada de pressão dinâmica; ela é a diferença entre a pressão de estagnação e a pressão estática ambiente. Observação sobre validade: essa fórmula vale bem quando o escoamento é aproximadamente incompressível. Para ar, a compressibilidade pode ser desprezada se o número de Mach M=V/c for menor que cerca de 0{,}3. No caso das velocidades dadas, M é pequeno (ver comentário num passo posterior), então usar Bernoulli é apropriado.

Passo 3

Converter velocidades para o SI (m/s). Regra: multiplicar \mathrm{km/h} por 5/18.
Para 105\\ \mathrm{km/h}:
V_1 = 105\cdot\frac{5}{18}=\frac{525}{18}=\frac{175}{6}\\ \mathrm{m/s}\approx29{,}166666\\ \mathrm{m/s}.
Para 354\\ \mathrm{km/h}:
V_2 = 354\cdot\frac{5}{18}=\frac{1770}{18}=\frac{295}{3}\\ \mathrm{m/s}\approx98{,}333333\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Calcular a pressão dinâmica \tfrac{1}{2}\rho V^{2} para cada velocidade (essa é a sobrepressão além da pressão atmosférica).
Usando \rho=1{,}225\\ \mathrm{kg/m^3}.
Para V_1=\dfrac{175}{6}\\ \mathrm{m/s}:
\tfrac{1}{2}\rho V_1^{2}=\tfrac{1}{2}\cdot1{,}225\cdot\left(\frac{175}{6}\right)^{2}.
Calculemos passo a passo:
\left(\frac{175}{6}\right)^{2}=\frac{30625}{36},
\tfrac{1}{2}\rho V_1^{2}=0{,}6125\cdot\frac{30625}{36}=\frac{18757{,}8125}{36}\\ \mathrm{Pa}\approx521{,}05\\ \mathrm{Pa}.
Portanto a pressão dinâmica para 105\\ \mathrm{km/h} é aproximadamente 521{,}05\\ \mathrm{Pa}.
Para V_2=\dfrac{295}{3}\\ \mathrm{m/s}:
\tfrac{1}{2}\rho V_2^{2}=\tfrac{1}{2}\cdot1{,}225\cdot\left(\frac{295}{3}\right)^{2}.
Calculemos passo a passo:
\left(\frac{295}{3}\right)^{2}=\frac{87025}{9},
\tfrac{1}{2}\rho V_2^{2}=0{,}6125\cdot\frac{87025}{9}=\frac{53302{,}8125}{9}\\ \mathrm{Pa}\approx5922{,}53\\ \mathrm{Pa}.
Portanto a pressão dinâmica para 354\\ \mathrm{km/h} é aproximadamente 5922{,}53\\ \mathrm{Pa}.

Passo 5

Obter a pressão máxima absoluta atuando na mão somando a pressão estática atmosférica p_{\infty} à pressão dinâmica calculada:
p_{\text{estagnação}}=p_{\infty}+\tfrac{1}{2}\rho V^{2}.çã
Para V_1=105\\ \mathrm{km/h}:
p_{\text{estagnação,1}}=101\,325\\ \mathrm{Pa}+521{,}05\\ \mathrm{Pa}=101\,846{,}05\\ \mathrm{Pa}\approx101\,846\\ \mathrm{Pa}.çã
Para V_2=354\\ \mathrm{km/h}:
p_{\text{estagnação,2}}=101\,325\\ \mathrm{Pa}+5922{,}53\\ \mathrm{Pa}=107\,247{,}53\\ \mathrm{Pa}\approx107\,248\\ \mathrm{Pa}.çã

Passo 6

Observações finais e interpretação (mais didático):
  • A quantidade relevante que faz a mão “sentir” uma força adicional é a pressão dinâmica \tfrac{1}{2}\rho V^{2}: no primeiro caso isso é só cerca de 521\\ \mathrm{Pa} (aprox. 0{,}005 atm), no segundo caso é cerca de 5923\\ \mathrm{Pa} (aprox. 0{,}058 atm). Essas são as sobresspressões acima da atmosférica.
  • A pressão absoluta máxima no ponto de estagnação (o que eu calculei como resposta) é a soma da pressão atmosférica com essa pressão dinâmica.
  • Justificação da aproximação incompressível: para V_2 o número de Mach é M\approx 98{,}3/343\approx0{,}29, ainda abaixo de 0{,}3 em ordem de magnitude, então o erro introduzido por compressibilidade é pequeno e a fórmula usada é adequada.
  • Resultado numérico final apresentado abaixo na seção de resposta.

Resposta

p_{\text{máxima, }105\\ \mathrm{km/h}} \approx 101\,846\\ \mathrm{Pa}á
p_{\text{máxima, }354\\ \mathrm{km/h}} \approx 107\,248\\ \mathrm{Pa}á

Exercícios relacionados