\mathbf{8}^{\mathbf{a}} Questão - O ar flui sobre uma placa sólida de dióxido de carbono congelado (gelo seco) com uma área de seção transversal exposta de 1 x 10^{-3} \mathrm{~m}^{2}. O dióxido de carbono se sublima na corrente que flui a 2 \mathrm{~m} / \mathrm{s} a uma taxa de liberação total de 2,29 \times 10^{-4} \mathrm{~mol} / \mathrm{s}. O ar está a 293 K e pressão de 1,013 \times 10^{5} \mathrm{~Pa}. A essa temperatura, a difusividade do dióxido de carbono no ar é de 1,5 \times 10^{-5} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s} e a viscosidade cinemática do ar é de 1,55 \times 10^{-5} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}. Determine o valor do coeficiente de transferência de massa do \mathrm{CO}_{2} que se sublima no ar em fluxo nas condições experimentais.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados (pego do enunciado):
    • velocidade do ar: u_{\infty}=2\\ \mathrm{m/s}.
    • área exposta (superfície pela qual o CO _2 entra no fluxo): A=1\times10^{-3}\\ \mathrm{m^{2}}.
    • taxa molar de sublimação (produção de CO _2): \dot{n}=2{,}29\times10^{-4}\\ \mathrm{mol/s}.
    • temperatura: T=293\\ \mathrm{K}.
    • pressão total: P=1{,}013\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
    • difusividade do CO _2 no ar: D=1{,}5\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{2}/s}.
    • viscosidade cinemática do ar: \nu=1{,}55\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{2}/s}.
  • O que o enunciado pede:
    • Determinar o coeficiente de transferência de massa k (coeficiente convectivo molar) do CO _2 que se sublima para o ar, nas condições dadas.

Passo 2

Plano e relação fundamental que vou usar.
A definição prática do coeficiente de transferência de massa (molar) é a lei de Fick na forma convectiva média:
\dot{n}=A\,k\,(c_s-c_{\infty}),
onde
  • \dot{n} é a taxa molar total de transferência (aqui dada),
  • A é a área de superfície exposta,
  • k é o coeficiente de transferência de massa (unidade \mathrm{m/s} quando usamos concentração em \mathrm{mol/m^3}),
  • c_s é a concentração molar de CO _2 imediatamente junto à superfície (na interface sólido-gás),
  • c_{\infty} é a concentração molar de CO _2 no escoamento livre (bulk).
Da equação acima isolamos k:
k=\frac{\dot{n}}{A\,(c_s-c_{\infty})}.
Então preciso estimar c_s e c_{\infty}. Vou:
  1. calcular o caudal volumétrico do ar Q=u_{\infty}A e a concentração média no escoamento causada pela adição de \dot{n}, para obter c_{\infty} (valor médio no escoamento).
  2. estimar c_s. Como o sólido é CO _2 puro, a camada gasosa imediatamente adjacente tende a ser rica em CO _2; para um sólido de CO _2 à sua temperatura de sublimação a pressão de vapor de equilíbrio é alta. A suposição usual e razoável para problemas de sublimação numa corrente de ar é tomar a concentração na superfície igual à concentração do vapor de CO _2 equivalente à pressão parcial igual à pressão total local (i.e. vapor praticamente puro na interface). Assim tomarei c_s obtido pela lei dos gases ideais aplicando P em cima (explico e justifico numericamente adiante) e verificarei que c_{\infty} é muito menor que c_s, o que justifica a aproximação c_s-c_{\infty}\approx c_s.
Vou explicar cada passo numérico com calma.

Passo 3

Cálculo do caudal volumétrico Q e da concentração média no escoamento c_{\infty} causada pela sublimação.
Volumetricamente, o volume de ar que passa por segundo é
Q = u_{\infty}\,A = 2\\ \mathrm{m/s}\times 1\times10^{-3}\\ \mathrm{m^{2}} = 2{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m^{3}/s}.
A taxa molar adicionada ao volume Q por segundo é \dot{n}. Assim a concentração média incremental de CO _2 no escoamento (supondo mistura aproximada ao longo da área) é
c_{\infty}^\text{(incremental)}=\frac{\dot{n}}{Q}=\frac{2{,}29\times10^{-4}}{2{,}0\times10^{-3}}\\ \mathrm{mol/m^{3}}.
Calculemos:
c_{\infty}=\frac{2{,}29\times10^{-4}}{2{,}0\times10^{-3}}=1{,}145\times10^{-1}\\ \mathrm{mol/m^{3}}=0{,}1145\\ \mathrm{mol/m^{3}}.
Comentário: este c_{\infty} é bem pequeno (ordem 10^{-1}\\ \mathrm{mol/m^3}) — mais adiante vamos comparar com c_s.

Passo 4

Cálculo da concentração na superfície c_s usando a lei dos gases ideais e justificativa física.
Se a interface é CO _2 sólido, a camada de gás imediatamente adjacente tende a ser composta por CO _2 em equilíbrio com o sólido; como referência prática, em muitos problemas de sublimação a concentração na superfície é próxima da concentração do CO _2 puro à pressão local. Aproximamos, portanto, c_s pela concentração do gás ideal à pressão P e temperatura T:
c_s=\frac{P}{R\,T},
onde R=8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)} é a const. dos gases.
Calculemos:
c_s=\frac{1{,}013\times10^{5}}{8{,}314\times293}\\ \mathrm{mol/m^{3}}.
Primeiro o denominador: 8{,}314\times293=2436{,}0 (aprox).
Então
c_s\approx\frac{1{,}013\times10^{5}}{2436{,}0}\approx 41{,}6\\ \mathrm{mol/m^{3}}.
Observação física: c_s é da ordem de 10^{1}\\ \mathrm{mol/m^{3}}, enquanto c_{\infty} calculado no passo anterior é 0{,}1145\\ \mathrm{mol/m^{3}}. Logo c_{\infty}\ll c_s e podemos com segurança aproximar c_s-c_{\infty}\approx c_s. Essa é uma simplificação comum em transferência de massa quando a superfície é essencialmente fonte pura (concentração de superfície muito maior que a do escoamento).

Passo 5

Cálculo do coeficiente k usando a fórmula e os valores obtidos.
Usando
k=\frac{\dot{n}}{A\,(c_s-c_{\infty})}\approx\frac{\dot{n}}{A\,c_s},
substituindo números:
k\approx\frac{2{,}29\times10^{-4}}{(1{,}0\times10^{-3})\times 41{,}6}.
Calcule o denominador: (1{,}0\times10^{-3})\times 41{,}6 = 0{,}0416.
Então
k\approx\frac{2{,}29\times10^{-4}}{0{,}0416}=5{,}52\times10^{-3}\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Verificação de ordem de grandeza e interpretação rápida.
  • Resultado: k\approx 5{,}5\times10^{-3}\\ \mathrm{m/s}. Este valor está na faixa típica de coeficientes de transferência de massa gasosos convectivos (tipicamente 10^{-4} a 10^{-2}\\ \mathrm{m/s} dependendo das condições), então faz sentido.
  • Justificativa da aproximação: a concentração de superfície usada é a concentração do CO _2 como se o gás junto à superfície fosse praticamente puro (aplicação direta da lei dos gases). A comparação numérica mostrou que a concentração introduzida pelo fluxo ( c_{\infty}) é desprezível frente a c_s, validando a simplificação.

Resposta

k \approx 5{,}52\times10^{-3}\\ \mathrm{m/s}

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