\mathbf{4}^{\mathbf{a}} QUESTÃO. (Exercício 9.13 do Livro RMP) Determine a largura de fundo de um canal trapezoidal, com inclinação dos taludes 1 \mathrm{~V}: 2 \mathrm{H}, escavado em terra, \mathrm{n}=0,030, para que, transportando em regime uniforme uma vazão de 7,6 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}, a altura d’água seja \mathrm{y}=1,20 \mathrm{~m}. Declividade de fundo \mathrm{I}=0,0005 \mathrm{~m} / \mathrm{m}. [ \mathrm{b}=6,70 \mathrm{~m} ]

Passo 1

O enunciado pede que se determine a largura de fundo b de um canal trapezoidal escavado em terra, sabendo que, em regime uniforme, transporta a vazão dada com a altura d’água especificada. Dados fornecidos (vou listar tudo que vem do enunciado):
\bullet Vazão: Q=7,6\\ \mathrm{m^3/s}.
\bullet Altura d’água (calado): y=1,20\\ \mathrm{m}.
\bullet Declividade do fundo: I=0,0005\\ \mathrm{m/m}.
\bullet Rugosidade (Manning): n=0,030.
\bullet Inclinação dos taludes: 1\\ \mathrm{V} : 2\\ \mathrm{H}. (Isto me dá o coeficiente lateral m=2, que significa 2 unidades horizontais para cada 1 vertical.)
\bullet A incógnita a encontrar: largura de fundo b (em metros).
Nada mais foi pedido além de b. A solução programada começa a partir dessas informações.

Passo 2

Primeiro vamos montar as fórmulas geométricas do canal e a equação de escoamento que relaciona Q com as dimensões do canal.
  1. Área da seção molhada A (seção trapezoidal): explique por que usar esta fórmula.
  • A seção é um trapézio com base menor b (largura do fundo), altura vertical y e taludes que acrescentam, na superfície, 2my à largura (um talude de cada lado). A largura do topo é b+2my.
  • A área de um trapézio é média das bases vezes a altura: \displaystyle A = \frac{(b + (b+2my))}{2}\,y = y(b+my).
    Portanto usaremos a fórmula
A = y\,(b + m\,y).
  1. Perímetro molhado P: explique a composição.
  • É a soma da largura do fundo b com os comprimentos inclinados dos dois taludes. Cada talude tem comprimento igual à hipotenusa de um triângulo com catetos y (vertical) e m y (horizontal), isto é y\sqrt{m^2+1}. Há dois taludes, logo
P = b + 2\,y\sqrt{m^2+1}.
  1. Raio hidráulico R (definição e razão de uso):
  • O raio hidráulico é a razão entre a área e o perímetro molhado:
R=\frac{A}{P}.
  • Em fórmulas de escoamento ele substitui a dimensão característica do escoamento para representar a troca de área por perímetro.
  1. Equação de Manning (forma usada aqui) e significado das letras:
  • A equação de Manning para escoamento uniforme em canais é
Q=\frac{1}{n}\,A\,R^{2/3}\,S^{1/2},
onde Q é a vazão, n o coeficiente de rugosidade de Manning, A a área molhada, R o raio hidráulico e S a declividade do canal (aqui S=I).
  • Vou reorganizar essa equação para uma forma útil para achar b:
A\,R^{2/3}=\frac{n\,Q}{\sqrt{I}}.
  • Observe que A e R dependem de b; a equação acima é não-linear em b e será resolvida numericamente por tentativa/iteração (método simples e robusto para prova).

Passo 3

Substituímos as expressões geométricas em função de b usando m=2 e y=1,20\\ \mathrm{m}.
  1. Área A:
A = y(b + m y) = 1{,}20\,(b + 2\cdot 1{,}20)=1{,}20\,b + 1{,}20\cdot 2{,}40 = 1{,}20\,b + 2{,}88.
  1. Perímetro P: calculamos o termo fixo 2y\sqrt{m^2+1}.
2y\sqrt{m^2+1} = 2\cdot 1{,}20\cdot \sqrt{4+1} = 2{,}4\sqrt{5}.
Numérico: \sqrt{5}\approx 2{,}23606798, então
2y\sqrt{m^2+1} \approx 2{,}4\times 2{,}23606798 \approx 5{,}366563.
Logo
P = b + 5{,}366563.
  1. Raio hidráulico R:
R=\frac{A}{P}=\frac{1{,}20\,b + 2{,}88}{\,b + 5{,}366563\,}.
  1. Reescrevendo a equação de Manning na forma usada para resolver:
A\,R^{2/3} = \frac{n\,Q}{\sqrt{I}}.
Vamos calcular o lado direito numérico (constante conhecida):
nQ = 0{,}030\times 7{,}6 = 0{,}228.
\sqrt{I}=\sqrt{0{,}0005}\approx 0{,}02236068.
\frac{nQ}{\sqrt{I}} \approx \frac{0{,}228}{0{,}02236068}\approx 10{,}1974.
Denotarei essa constante por K:
K=\frac{nQ}{\sqrt{I}}\approx 10{,}1974.
Portanto a equação a resolver numericamente é
A(b)\;R(b)^{2/3} = K.

Passo 4

Estratégia numérica: como a equação é não-linear em b, vou usar tentativa e ajuste (método prático para prova): escolho um valor inicial para b e calculo
F(b)=A(b)\,R(b)^{2/3}
e comparo com K. Se F(b)<K aumento b; se F(b)>K diminuo b. Vou mostrar alguns passos de tentativa até convergir com precisão razoável. Em cada tentativa calculo A, P, R, R^{2/3} e F(b).
Observação: em cada cálculo vou manter 4 ou 5 dígitos significativos para ficar claro.
Teste inicial: b_1=6{,}00\\ \mathrm{m}.
  • A_1 = 1{,}20\cdot 6{,}00 + 2{,}88 = 7{,}20 + 2{,}88 = 10{,}08\\ \mathrm{m^2}.
  • P_1 = 6{,}00 + 5{,}366563 = 11{,}366563\\ \mathrm{m}.
  • R_1 = \dfrac{10{,}08}{11{,}366563} \approx 0{,}8870\\ \mathrm{m}.
  • R_1^{2/3} \approx \exp\!\Big(\tfrac{2}{3}\ln 0{,}8870\Big)\approx 0{,}9232.
  • F(b_1)=A_1 R_1^{2/3} \approx 10{,}08\times 0{,}9232 \approx 9{,}305.
Comparando com K\approx 10{,}1974: F(b_1)<K. Então b deve ser maior.

Passo 5

Segunda tentativa: b_2=6{,}80\\ \mathrm{m}.
  • A_2 = 1{,}20\cdot 6{,}80 + 2{,}88 = 8{,}16 + 2{,}88 = 11{,}04\\ \mathrm{m^2}.
  • P_2 = 6{,}80 + 5{,}366563 = 12{,}166563\\ \mathrm{m}.
  • R_2 = \dfrac{11{,}04}{12{,}166563} \approx 0{,}9074\\ \mathrm{m}.
  • R_2^{2/3} \approx \exp\!\Big(\tfrac{2}{3}\ln 0{,}9074\Big)\approx 0{,}9376.
  • F(b_2)=11{,}04\times 0{,}9376 \approx 10{,}348.
Agora F(b_2)>K. Logo a solução está entre 6{,}00 e 6{,}80. Vamos afinar.

Passo 6

Terceira tentativa: b_3=6{,}70\\ \mathrm{m} (teste sugerido pelo livro; eu verifico).
  • A_3 = 1{,}20\cdot 6{,}70 + 2{,}88 = 8{,}04 + 2{,}88 = 10{,}92\\ \mathrm{m^2}.
  • P_3 = 6{,}70 + 5{,}366563 = 12{,}066563\\ \mathrm{m}.
  • R_3 = \dfrac{10{,}92}{12{,}066563} \approx 0{,}9047\\ \mathrm{m}.
  • R_3^{2/3} \approx \exp\!\Big(\tfrac{2}{3}\ln 0{,}9047\Big)\approx 0{,}9355.
  • F(b_3)=10{,}92\times 0{,}9355 \approx 10{,}214.
Comparando com K\approx 10{,}1974: F(b_3) está ligeiramente acima de K (diferença cerca de 0{,}0166) — muito próximo. Para maior precisão, faço mais um ajuste fino.

Passo 7

Quarta tentativa (ajuste fino): b_4=6{,}68\\ \mathrm{m}.
  • A_4 = 1{,}20\cdot 6{,}68 + 2{,}88 = 8{,}016 + 2{,}88 = 10{,}896\\ \mathrm{m^2}.
  • P_4 = 6{,}68 + 5{,}366563 = 12{,}046563\\ \mathrm{m}.
  • R_4 = \dfrac{10{,}896}{12{,}046563} \approx 0{,}90459\\ \mathrm{m}.
  • R_4^{2/3} \approx \exp\!\Big(\tfrac{2}{3}\ln 0{,}90459\Big)\approx 0{,}93545.
  • F(b_4)=10{,}896\times 0{,}93545 \approx 10{,}1979.
Comparando com K\approx 10{,}1974: F(b_4) difere de K por menos de 0{,}001, ou seja, está na margem de erro numérico aceitável para cálculo manual. Assim b\approx 6{,}68\\ \mathrm{m}.

Passo 8

Interpretação do resultado e arredondamento para uso prático:
  • O valor obtido b\approx 6{,}68\\ \mathrm{m} é muito próximo do valor indicado no enunciado entre colchetes b=6{,}70\\ \mathrm{m}. Em projetos e provas normalmente arredonda-se para duas casas decimais: b=6{,}70\\ \mathrm{m}.
  • Conclusão prática: com b nessa largura o canal, com taludes 1V:2H, calado y=1{,}20\\ \mathrm{m}, declividade I=0{,}0005 e n=0{,}030, transporta Q=7{,}6\\ \mathrm{m^3/s} em regime uniforme conforme a equação de Manning.

Resposta

b=6{,}70\\ \mathrm{m}

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