QUESTÃO. (Exercício 9.13 do Livro RMP) Determine a largura de fundo de um canal trapezoidal, com inclinação dos taludes
, escavado em terra,
, para que, transportando em regime uniforme uma vazão de
, a altura d’água seja
. Declividade de fundo
. [
]
Passo 1
O enunciado pede que se determine a largura de fundo
de um canal trapezoidal escavado em terra, sabendo que, em regime uniforme, transporta a vazão dada com a altura d’água especificada. Dados fornecidos (vou listar tudo que vem do enunciado):
Nada mais foi pedido além de
. A solução programada começa a partir dessas informações.
Passo 2
Primeiro vamos montar as fórmulas geométricas do canal e a equação de escoamento que relaciona
com as dimensões do canal.
- Área da seção molhada
(seção trapezoidal): explique por que usar esta fórmula.
- A seção é um trapézio com base menor
(largura do fundo), altura vertical e taludes que acrescentam, na superfície, à largura (um talude de cada lado). A largura do topo é . - A área de um trapézio é média das bases vezes a altura:
.
Portanto usaremos a fórmula
- Perímetro molhado
: explique a composição.
- É a soma da largura do fundo
com os comprimentos inclinados dos dois taludes. Cada talude tem comprimento igual à hipotenusa de um triângulo com catetos (vertical) e (horizontal), isto é . Há dois taludes, logo
- Raio hidráulico
(definição e razão de uso):
- O raio hidráulico é a razão entre a área e o perímetro molhado:
- Em fórmulas de escoamento ele substitui a dimensão característica do escoamento para representar a troca de área por perímetro.
- Equação de Manning (forma usada aqui) e significado das letras:
- A equação de Manning para escoamento uniforme em canais é
onde
é a vazão,
o coeficiente de rugosidade de Manning,
a área molhada,
o raio hidráulico e
a declividade do canal (aqui
).
- Vou reorganizar essa equação para uma forma útil para achar
:
- Observe que
e dependem de ; a equação acima é não-linear em e será resolvida numericamente por tentativa/iteração (método simples e robusto para prova).
Passo 3
Substituímos as expressões geométricas em função de
usando
e
.
- Área
:
- Perímetro
: calculamos o termo fixo .
Numérico:
, então
Logo
- Raio hidráulico
:
- Reescrevendo a equação de Manning na forma usada para resolver:
Vamos calcular o lado direito numérico (constante conhecida):
Denotarei essa constante por
:
Portanto a equação a resolver numericamente é
Passo 4
Estratégia numérica: como a equação é não-linear em
, vou usar tentativa e ajuste (método prático para prova): escolho um valor inicial para
e calculo
e comparo com
. Se
aumento
; se
diminuo
. Vou mostrar alguns passos de tentativa até convergir com precisão razoável. Em cada tentativa calculo
,
,
,
e
.
Observação: em cada cálculo vou manter 4 ou 5 dígitos significativos para ficar claro.
Teste inicial:
.
Comparando com
:
. Então
deve ser maior.
Passo 5
Segunda tentativa:
.
Agora
. Logo a solução está entre
e
. Vamos afinar.
Passo 6
Terceira tentativa:
(teste sugerido pelo livro; eu verifico).
Comparando com
:
está ligeiramente acima de
(diferença cerca de
) — muito próximo. Para maior precisão, faço mais um ajuste fino.
Passo 7
Quarta tentativa (ajuste fino):
.
Comparando com
:
difere de
por menos de
, ou seja, está na margem de erro numérico aceitável para cálculo manual. Assim
.
Passo 8
Interpretação do resultado e arredondamento para uso prático:
- O valor obtido
é muito próximo do valor indicado no enunciado entre colchetes . Em projetos e provas normalmente arredonda-se para duas casas decimais: . - Conclusão prática: com
nessa largura o canal, com taludes , calado , declividade e , transporta em regime uniforme conforme a equação de Manning.