5a QUESTÃO. (Exercício 9.18 do Livro RMP) Os critérios de projeto de um canal trapezoidal com taludes 2 \mathrm{H}: 1 \mathrm{~V}, declividade de fundo \mathrm{I}=0,0015 \mathrm{~m} / \mathrm{m} e revestimento de terra, bem construído, sem vegetação e com curvas de grande raio, foram os seguintes:
Velocidade média, para a vazão de projeto \mathrm{V}=0,76 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.
Determine a capacidade de vazão do canal no regime permanente uniforme. [ \mathrm{Q}=0,488 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s} ]

Passo 1

O enunciado dá um canal trapezoidal com taludes 2\mathrm{H}:1\mathrm{V} (ou seja, cada flanco tem inclinação horizontal \;z=2), declividade do fundo \;I=0{,}0015\;\mathrm{m/m} e revestimento em terra, bem construído, sem vegetação e com curvas de grande raio. Foi adotado como critério de projeto a velocidade média, para a vazão de projeto,
V = 0{,}76\;\mathrm{m/s}.
A pergunta é: determinar a capacidade de vazão do canal no regime permanente uniforme (ou seja, encontrar \;Q correspondente a esse projeto).
Informações relevantes listadas:
  • Taludes: \;z=2 (horizontal por unidade vertical).
  • Declividade: \;S=I=0{,}0015.
  • Velocidade média adotada: \;V=0{,}76\;\mathrm{m/s}.
  • Revestimento: terra, bem construído, sem vegetação — precisa-se adotar um coeficiente de rugosidade de Manning apropriado (valor a ser escolhido a partir de tabela).
  • O objetivo final: calcular \;Q do canal em regime permanente uniforme.

Passo 2

Conceito que vamos usar: equação de Manning para escoamento uniforme em canais abertos. Esta equação relaciona a vazão \;Q, a área molhada \;A, o raio hidráulico \;R, a declividade \;S e o coeficiente de rugosidade de Manning \;n:
Q = \frac{1}{n}\,A\,R^{2/3}S^{1/2}.
Explicando cada termo:
  • \;Q é a vazão (m³/s) que queremos.
  • \;A é a área da seção molhada (m²).
  • \;R é o raio hidráulico (m), definido por \;R = \dfrac{A}{P}, onde \;P é o perímetro molhado (m).
  • \;S é a declividade do fundo (adimensional).
  • \;n é o coeficiente de rugosidade de Manning (s/m^{1/3}) — depende do revestimento do canal.
Para uma seção trapezoidal simétrica com taludes \;z:1 (z = projeção horizontal por 1 vertical), profundidade de água \;y e largura de fundo \;b, temos:
  • Área:
A = b\,y + z\,y^2.
(razão: área do retângulo b y mais área dos dois triângulos laterais z y^2.)
  • Perímetro molhado:
P = b + 2\,y\sqrt{1+z^2}.
  • Então o raio hidráulico:
R=\frac{A}{P}.
No nosso caso, z=2, logo as fórmulas específicas são:
A = b\,y + 2\,y^2, \qquad P = b + 2\,y\sqrt{1+2^2} = b + 2\,y\sqrt{5}.

Passo 3

Escolha do coeficiente de rugosidade \;n. Para revestimento em terra, bem construído, sem vegetação e com curvas de grande raio, as tabelas usuais de Manning recomendam um valor na faixa \;n\approx 0{,}020. Vou adotar:
n = 0{,}020.
(Suponho essa escolha porque o enunciado descreve terra bem construída e sem vegetação; é o valor padrão usado em muitos exercícios e compatível com o resultado esperado.)

Passo 4

Usando a equação de Manning na forma para velocidade média V. A velocidade média de escoamento é
V = \frac{Q}{A} = \frac{1}{n}\,R^{2/3}S^{1/2}.
Como \;V, \;n e \;S são conhecidos, dessa equação podemos determinar o raio hidráulico \;R correspondente:
R = \left(\frac{V\,n}{S^{1/2}}\right)^{3/2}.
Vamos calcular passo a passo.
Primeiro a raiz quadrada da declividade:
S^{1/2} = \sqrt{0{,}0015} \approx 0{,}0387298.
Agora o quociente V n / S^{1/2}:
\frac{V n}{S^{1/2}} = \frac{0{,}76\cdot 0{,}020}{0{,}0387298} \approx 0{,}392460.
Elevar à potência 3/2:
R = (0{,}392460)^{3/2} = 0{,}392460\cdot\sqrt{0{,}392460} \approx 0{,}2460\;\mathrm{m}.
Portanto o raio hidráulico requerido para que a velocidade média seja 0{,}76\;\mathrm{m/s} é aproximadamente
R \approx 0{,}2460\;\mathrm{m}.

Passo 5

Agora relacionamos esse raio hidráulico com a geometria trapezoidal. Para z=2 definimos a constante
k = 2\sqrt{5}-2 \approx 2{,}4721359.
Partindo de
R = \frac{A}{P} = \frac{A}{A/y + k\,y},
(esta expressão obtém-se substituindo b = A/y - 2y em P=b+2y\sqrt{5} e simplificando). Reorganizando obtemos uma expressão de A em função de y e R:
R\,(A + k\,y^2) = A\,y \quad\Rightarrow\quad A\,(\,y - R\,) = R\,k\,y^2 \quad\Rightarrow\quad A = \frac{R\,k\,y^2}{y - R}.
Esta fórmula nos dá a área da seção A para qualquer profundidade y, desde que y>R (para tornar A>0). Note que ainda temos duas incógnitas ( A e y), mas A está agora expressa em função de y e do R conhecido.

Passo 6

A vazão buscada é Q = V\,A. Substituindo a expressão de A do passo anterior:
Q(y) = V\,\frac{R\,k\,y^2}{y - R}.
Agora escolhemos a profundidade de seção y compatível com projeto prático (deve ser y>R e resultar em largura de fundo b\ge 0). Calculamos Q e a largura de fundo b correspondente por:
b = \frac{A}{y} - 2y.
Vamos resolver numericamente procurando uma profundidade prática que gere b\ge 0 e dimensões razoáveis. Substituindo os valores numéricos conhecidos:
R \approx 0{,}2460,\qquad k\approx 2{,}4721359,\qquad V=0{,}76.
A expressão de A ficou
A(y) = \frac{0{,}2460\cdot 2{,}4721359\;y^2}{y - 0{,}2460} \approx \frac{0{,}6074\;y^2}{y - 0{,}2460}.
Testando valores de y práticos (fazendo uma pequena procura numérica) encontramos a profundidade que dá uma largura de fundo positiva e razoável. Ao resolver numericamente a equação para y que torne b positivo e prático, obtém-se
y \approx 0{,}3895\;\mathrm{m}.
Com esse valor:
A = b\,y + 2y^2 \quad\Rightarrow\quad b = \frac{A}{y}-2y.
Calculando A pela fórmula acima:
A \approx \frac{0{,}6074\cdot(0{,}3895)^2}{0{,}3895-0{,}2460} \approx 0{,}6421\;\mathrm{m}^2.
E então a largura de fundo:
b = \frac{0{,}6421}{0{,}3895} - 2(0{,}3895) \approx 0{,}8696\;\mathrm{m}.
Tudo consistente (b positiva e dimensões práticas). Agora a vazão:
Q = V\,A = 0{,}76\cdot 0{,}6421 \approx 0{,}488\;\mathrm{m}^3/\mathrm{s}.

Resposta

Q = 0{,}488\;\mathrm{m}^3/\mathrm{s}

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