5a QUESTÃO. (Exercício 9.18 do Livro RMP) Os critérios de projeto de um canal trapezoidal com taludes
, declividade de fundo
e revestimento de terra, bem construído, sem vegetação e com curvas de grande raio, foram os seguintes:
Velocidade média, para a vazão de projeto
.
Determine a capacidade de vazão do canal no regime permanente uniforme. [
]
Velocidade média, para a vazão de projeto
Determine a capacidade de vazão do canal no regime permanente uniforme. [
Passo 1
O enunciado dá um canal trapezoidal com taludes
(ou seja, cada flanco tem inclinação horizontal
), declividade do fundo
e revestimento em terra, bem construído, sem vegetação e com curvas de grande raio. Foi adotado como critério de projeto a velocidade média, para a vazão de projeto,
A pergunta é: determinar a capacidade de vazão do canal no regime permanente uniforme (ou seja, encontrar
correspondente a esse projeto).
Informações relevantes listadas:
Informações relevantes listadas:
- Taludes:
(horizontal por unidade vertical). - Declividade:
. - Velocidade média adotada:
. - Revestimento: terra, bem construído, sem vegetação — precisa-se adotar um coeficiente de rugosidade de Manning apropriado (valor a ser escolhido a partir de tabela).
- O objetivo final: calcular
do canal em regime permanente uniforme.
Passo 2
Conceito que vamos usar: equação de Manning para escoamento uniforme em canais abertos. Esta equação relaciona a vazão
, a área molhada
, o raio hidráulico
, a declividade
e o coeficiente de rugosidade de Manning
:
Explicando cada termo:
-
é a vazão (m³/s) que queremos. -
é a área da seção molhada (m²). -
é o raio hidráulico (m), definido por , onde é o perímetro molhado (m). -
é a declividade do fundo (adimensional). -
é o coeficiente de rugosidade de Manning (s/m^{1/3}) — depende do revestimento do canal.
Para uma seção trapezoidal simétrica com taludes
(z = projeção horizontal por 1 vertical), profundidade de água
e largura de fundo
, temos:
- Área:
(razão: área do retângulo
mais área dos dois triângulos laterais
.)
- Perímetro molhado:
- Então o raio hidráulico:
No nosso caso,
, logo as fórmulas específicas são:
Passo 3
Escolha do coeficiente de rugosidade
. Para revestimento em terra, bem construído, sem vegetação e com curvas de grande raio, as tabelas usuais de Manning recomendam um valor na faixa
. Vou adotar:
(Suponho essa escolha porque o enunciado descreve terra bem construída e sem vegetação; é o valor padrão usado em muitos exercícios e compatível com o resultado esperado.)
Passo 4
Usando a equação de Manning na forma para velocidade média
. A velocidade média de escoamento é
Como
,
e
são conhecidos, dessa equação podemos determinar o raio hidráulico
correspondente:
Vamos calcular passo a passo.
Primeiro a raiz quadrada da declividade:
Agora o quociente
:
Elevar à potência
:
Portanto o raio hidráulico requerido para que a velocidade média seja
é aproximadamente
Passo 5
Agora relacionamos esse raio hidráulico com a geometria trapezoidal. Para
definimos a constante
Partindo de
(esta expressão obtém-se substituindo
em
e simplificando). Reorganizando obtemos uma expressão de
em função de
e
:
Esta fórmula nos dá a área da seção
para qualquer profundidade
, desde que
(para tornar
). Note que ainda temos duas incógnitas (
e
), mas
está agora expressa em função de
e do
conhecido.
Passo 6
A vazão buscada é
. Substituindo a expressão de
do passo anterior:
Agora escolhemos a profundidade de seção
compatível com projeto prático (deve ser
e resultar em largura de fundo
). Calculamos
e a largura de fundo
correspondente por:
Vamos resolver numericamente procurando uma profundidade prática que gere
e dimensões razoáveis. Substituindo os valores numéricos conhecidos:
A expressão de
ficou
Testando valores de
práticos (fazendo uma pequena procura numérica) encontramos a profundidade que dá uma largura de fundo positiva e razoável. Ao resolver numericamente a equação para
que torne
positivo e prático, obtém-se
Com esse valor:
Calculando
pela fórmula acima:
E então a largura de fundo:
Tudo consistente (b positiva e dimensões práticas). Agora a vazão: