\mathbf{2}^{\mathbf{a}} Questão ( \mathbf{1 . 5} pontos): Considere a função f(x, y)=3 y e^{x^{3}-y^{2}}.
a) Calcule a taxa de variação da função z=f(x, y) no ponto (1,-1) na direção do vetor \vec{v}=(4,-3). Nesta direção, há crescimento ou decrescimento da função?
b) Em que direção e sentido ocorre a menor taxa de variação no ponto?

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=3y e^{x^{3}-y^{2}} e pede duas coisas:
  1. (a) Calcular a taxa de variação de z=f(x,y) no ponto (1,-1) na direção do vetor \vec{v}=(4,-3) e dizer se nessa direção há crescimento ou decrescimento da função.
  2. (b) Indicar em que direção e sentido ocorre a menor taxa de variação no ponto (1,-1).
Informações relevantes fornecidas:
\,f(x,y)=3y e^{x^{3}-y^{2}};\quad ponto (1,-1);\quad vetor de direção \vec{v}=(4,-3).

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicando cada símbolo):
  • Gradiente de f: \nabla f(x,y)=\left(\dfrac{\partial f}{\partial x},\dfrac{\partial f}{\partial y}\right).
    Aqui \dfrac{\partial f}{\partial x} é a derivada parcial de f em relação a x mantendo y fixo, e \dfrac{\partial f}{\partial y} é a derivada parcial em relação a y mantendo x fixo. O gradiente aponta na direção de máximo crescimento de f.
  • Vetor unitário na direção de um vetor \vec{v}: \displaystyle \vec{u}=\frac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|}, onde \|\vec{v}\|=\sqrt{v_1^2+v_2^2} é a norma (comprimento) de \vec{v}.
  • Derivada direcional de f no ponto (x_0,y_0) na direção do vetor unitário \vec{u}:
    D_{\vec{u}}f(x_0,y_0)=\nabla f(x_0,y_0)\cdot \vec{u},
    onde \cdot indica produto escalar (produto interno). Para dois vetores \vec{a}=(a_1,a_2) e \vec{b}=(b_1,b_2), o produto escalar é \vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2.
Comentário curto: a derivada direcional mede a taxa de variação de f quando nos deslocamos do ponto na direção \vec{u}. Se D_{\vec{u}}f>0 há crescimento, se D_{\vec{u}}f<0 há decrescimento.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de f.
Temos f(x,y)=3y\,e^{x^{3}-y^{2}}. Vamos aplicar regra do produto e regra da cadeia com calma.
  • Derivada parcial em relação a x:
    \dfrac{\partial f}{\partial x}=3y\cdot \frac{d}{dx}\bigl(e^{x^{3}-y^{2}}\bigr).
    Pela regra da cadeia,
    \frac{d}{dx}\bigl(e^{x^{3}-y^{2}}\bigr)=e^{x^{3}-y^{2}}\cdot \frac{d}{dx}(x^{3}-y^{2})=e^{x^{3}-y^{2}}\cdot 3x^{2},
    pois y é tratado como constante ao derivar em x. Logo
    \dfrac{\partial f}{\partial x}=3y\cdot e^{x^{3}-y^{2}}\cdot 3x^{2}=9x^{2}y\,e^{x^{3}-y^{2}}.
  • Derivada parcial em relação a y:
    Use regra do produto em 3y\cdot e^{x^{3}-y^{2}}:
    \dfrac{\partial f}{\partial y}=3\cdot e^{x^{3}-y^{2}} + 3y\cdot e^{x^{3}-y^{2}}\cdot \frac{d}{dy}(x^{3}-y^{2}).
    Aqui \dfrac{d}{dy}(x^{3}-y^{2})=-2y. Portanto
    \dfrac{\partial f}{\partial y}=3e^{x^{3}-y^{2}} + 3y e^{x^{3}-y^{2}}\cdot(-2y) =3e^{x^{3}-y^{2}}\bigl(1-2y^{2}\bigr).

Passo 4

Avaliar o gradiente no ponto (1,-1).
Primeiro calcule x^{3}-y^{2} em (1,-1):
1^{3}-(-1)^{2}=1-1=0,\qquad e^{0}=1.
Agora avaliar as parciais:
\dfrac{\partial f}{\partial x}(1,-1)=9\cdot 1^{2}\cdot(-1)\cdot 1=-9,
\dfrac{\partial f}{\partial y}(1,-1)=3\cdot 1\cdot\bigl(1-2(-1)^{2}\bigr)=3(1-2)=-3.
Logo o gradiente no ponto é
\nabla f(1,-1)=(-9,-3).

Passo 5

Calcular a derivada direcional na direção de \vec{v}=(4,-3).
Primeiro obtenha o vetor unitário \vec{u} na direção de \vec{v}:
\|\vec{v}\|=\sqrt{4^{2}+(-3)^{2}}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5,
\vec{u}=\frac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|}=\left(\frac{4}{5},-\frac{3}{5}\right).
Agora a derivada direcional é o produto escalar:
D_{\vec{u}}f(1,-1)=\nabla f(1,-1)\cdot \vec{u}=(-9,-3)\cdot\left(\frac{4}{5},-\frac{3}{5}\right).
Calcule produto escalar passo a passo:
(-9)\cdot\frac{4}{5}+(-3)\cdot\left(-\frac{3}{5}\right)=-\frac{36}{5}+\frac{9}{5}=-\frac{27}{5}.
Portanto
D_{\vec{u}}f(1,-1)=-\frac{27}{5}.
Como este valor é negativo ( -\tfrac{27}{5}<0), na direção do vetor \vec{v}=(4,-3) há decrescimento da função no ponto (1,-1).

Passo 6

Encontrar a direção e sentido da menor taxa de variação no ponto (mínimo da derivada direcional).
A propriedade importante: a derivada direcional em qualquer vetor unitário \vec{u} pode ser escrita como
D_{\vec{u}}f(1,-1)=\nabla f(1,-1)\cdot\vec{u}=\|\nabla f(1,-1)\|\cos\theta,
onde \theta é o ângulo entre \nabla f(1,-1) e \vec{u}. O mínimo possível ocorre quando \cos\theta=-1, ou seja quando \vec{u} é exatamente na direção oposta ao gradiente. Nesse caso o mínimo é -\|\nabla f(1,-1)\|.
Calcule a norma do gradiente:
\|\nabla f(1,-1)\|=\sqrt{(-9)^{2}+(-3)^{2}}=\sqrt{81+9}=\sqrt{90}=3\sqrt{10}.
Portanto a menor taxa de variação (valor mínimo da derivada direcional) é
-\|\nabla f(1,-1)\|=-3\sqrt{10}.
A direção (vetor unitário) correspondente é -\dfrac{\nabla f(1,-1)}{\|\nabla f(1,-1)\|}. Como \nabla f(1,-1)=(-9,-3), temos -\nabla f(1,-1)=(9,3) e o vetor unitário nessa direção é
\frac{(9,3)}{3\sqrt{10}}=\left(\frac{3}{\sqrt{10}},\frac{1}{\sqrt{10}}\right).
Interpretação: a menor taxa de variação ocorre no sentido de -\nabla f, isto é, na direção do vetor \left(\dfrac{3}{\sqrt{10}},\dfrac{1}{\sqrt{10}}\right) (movendo-se nessa direção a função decresce mais rapidamente), e o valor da taxa de variação nesse sentido é -3\sqrt{10}.

Resposta

a) \displaystyle D_{\vec{u}}f(1,-1)=-\frac{27}{5}. Decrescimento.
b) Direção e sentido de menor taxa: vetor unitário \displaystyle \left(\frac{3}{\sqrt{10}},\frac{1}{\sqrt{10}}\right) (ou seja, no sentido oposto ao gradiente). Valor mínimo da taxa: \displaystyle -3\sqrt{10}.

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