Questão (
pontos): Considere a função
.
a) Calcule a taxa de variação da função
no ponto
na direção do vetor
. Nesta direção, há crescimento ou decrescimento da função?
b) Em que direção e sentido ocorre a menor taxa de variação no ponto?
a) Calcule a taxa de variação da função
b) Em que direção e sentido ocorre a menor taxa de variação no ponto?
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
- (a) Calcular a taxa de variação de
no ponto na direção do vetor e dizer se nessa direção há crescimento ou decrescimento da função. - (b) Indicar em que direção e sentido ocorre a menor taxa de variação no ponto
.
Informações relevantes fornecidas:
;\quad ponto
;\quad vetor de direção
.
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicando cada símbolo):
-
Gradiente de
: .
Aquié a derivada parcial de em relação a mantendo fixo, e é a derivada parcial em relação a mantendo fixo. O gradiente aponta na direção de máximo crescimento de . -
Vetor unitário na direção de um vetor
: , onde é a norma (comprimento) de . -
Derivada direcional de
no ponto na direção do vetor unitário : ondeindica produto escalar (produto interno). Para dois vetores e , o produto escalar é .
Comentário curto: a derivada direcional mede a taxa de variação de
quando nos deslocamos do ponto na direção
. Se
há crescimento, se
há decrescimento.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
.
Temos
. Vamos aplicar regra do produto e regra da cadeia com calma.
-
Derivada parcial em relação a
: Pela regra da cadeia,poisé tratado como constante ao derivar em . Logo -
Derivada parcial em relação a
:
Use regra do produto em: Aqui. Portanto
Passo 4
Avaliar o gradiente no ponto
.
Primeiro calcule
em
:
Agora avaliar as parciais:
Logo o gradiente no ponto é
Passo 5
Calcular a derivada direcional na direção de
.
Primeiro obtenha o vetor unitário
na direção de
:
Agora a derivada direcional é o produto escalar:
Calcule produto escalar passo a passo:
Portanto
Como este valor é negativo (
), na direção do vetor
há decrescimento da função no ponto
.
Passo 6
Encontrar a direção e sentido da menor taxa de variação no ponto (mínimo da derivada direcional).
A propriedade importante: a derivada direcional em qualquer vetor unitário
pode ser escrita como
onde
é o ângulo entre
e
. O mínimo possível ocorre quando
, ou seja quando
é exatamente na direção oposta ao gradiente. Nesse caso o mínimo é
.
Calcule a norma do gradiente:
Portanto a menor taxa de variação (valor mínimo da derivada direcional) é
A direção (vetor unitário) correspondente é
. Como
, temos
e o vetor unitário nessa direção é
Interpretação: a menor taxa de variação ocorre no sentido de
, isto é, na direção do vetor
(movendo-se nessa direção a função decresce mais rapidamente), e o valor da taxa de variação nesse sentido é
.
Resposta
a)
. Decrescimento.
b) Direção e sentido de menor taxa: vetor unitário (ou seja, no sentido oposto ao gradiente). Valor mínimo da taxa:
.
b) Direção e sentido de menor taxa: vetor unitário