PROBLEMA
Passo 1
O enunciado dá a função
e afirma duas coisas que precisamos verificar:
Lista das informações relevantes:
- A função é
. - Queremos a derivada parcial de
em relação a , e depois a derivada parcial mista .
Nenhuma outra informação é pedida; a resolução começa a partir desses dados.
Passo 2
Vamos calcular
. Primeiro uma ideia didática: escreva a função como composição
A regra da cadeia para derivadas parciais diz que, ao derivar
em relação a
, multiplicamos a derivada de
em relação a
pela derivada de
em relação a
. Como a derivada de
em relação a
é
, temos
Calcule
: como
e
é tratado como constante ao derivar em relação a
,
Portanto
Repare que
, então podemos escrever de forma compacta
Dica prática para prova: sempre identifique a parte interna
e aplique a regra da cadeia; trate as outras variáveis como constantes.
Passo 3
Agora calculamos a derivada parcial mista
. Já temos
. Ao derivar em relação a
, lembramos que
é constante, então o fator
sai da derivada:
Agora precisamos de
. Fazemos análogo ao passo 2: usando
,
logo pela regra da cadeia
Substituindo em
:
Pronto: obtivemos
.
Passo 4
Verificação alternativa (útil para fixar): calcular na ordem inversa para confirmar a igualdade. Primeiro
(conforme obtivemos). Agora derive isso em relação a
, tratando
como constante:
As duas ordens dão o mesmo resultado, como era de se esperar (a função é suave, então as derivadas mistas coincidem).
Passo 5
Resumo didático-final e dica de prova: para funções do tipo
use sempre a regra da cadeia; ao derivar parcialmente mantenha constantes as outras variáveis; quando aparecer
no resultado, fica prático reescrever
como
para simplificar expressões rápidas na prova.