PROBLEMA 1: z=e^{-x^{2}-y^{2}} \Rightarrow \frac{\partial z}{\partial y}=-2 y z \Rightarrow \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}=4 x y z

Passo 1

O enunciado dá a função z(x,y)=e^{-x^{2}-y^{2}} e afirma duas coisas que precisamos verificar:
\frac{\partial z}{\partial y}=-2y\,z
\frac{\partial^{2} z}{\partial x\partial y}=4xy\,z
Lista das informações relevantes:
  • A função é z(x,y)=e^{-x^{2}-y^{2}}.
  • Queremos a derivada parcial de z em relação a y, e depois a derivada parcial mista \partial^{2}z/(\partial x\partial y).
    Nenhuma outra informação é pedida; a resolução começa a partir desses dados.

Passo 2

Vamos calcular \dfrac{\partial z}{\partial y}. Primeiro uma ideia didática: escreva a função como composição
z(x,y)=e^{u(x,y)},\quad\text{onde}\quad u(x,y)=-x^{2}-y^{2}.
A regra da cadeia para derivadas parciais diz que, ao derivar e^{u(x,y)} em relação a y, multiplicamos a derivada de e^{u} em relação a u pela derivada de u em relação a y. Como a derivada de e^{u} em relação a u é e^{u}, temos
\frac{\partial z}{\partial y}=e^{u(x,y)}\cdot\frac{\partial u}{\partial y}.
Calcule \dfrac{\partial u}{\partial y}: como u(x,y)=-x^{2}-y^{2} e x é tratado como constante ao derivar em relação a y,
\frac{\partial u}{\partial y}=-2y.
Portanto
\frac{\partial z}{\partial y}=e^{u(x,y)}\cdot(-2y)=-2y\,e^{-x^{2}-y^{2}}.
Repare que e^{-x^{2}-y^{2}}=z, então podemos escrever de forma compacta
\frac{\partial z}{\partial y}=-2y\,z.
Dica prática para prova: sempre identifique a parte interna u e aplique a regra da cadeia; trate as outras variáveis como constantes.

Passo 3

Agora calculamos a derivada parcial mista \dfrac{\partial^{2} z}{\partial x\partial y}=\dfrac{\partial}{\partial x}\!\left(\dfrac{\partial z}{\partial y}\right). Já temos \dfrac{\partial z}{\partial y}=-2y\,z. Ao derivar em relação a x, lembramos que y é constante, então o fator -2y sai da derivada:
\frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)=\frac{\partial}{\partial x}(-2y\,z)=-2y\cdot\frac{\partial z}{\partial x}.
Agora precisamos de \dfrac{\partial z}{\partial x}. Fazemos análogo ao passo 2: usando u=-x^{2}-y^{2},
\frac{\partial u}{\partial x}=-2x,
logo pela regra da cadeia
\frac{\partial z}{\partial x}=e^{u(x,y)}\cdot\frac{\partial u}{\partial x}=e^{-x^{2}-y^{2}}\cdot(-2x)=-2x\,z.
Substituindo em -2y\cdot\dfrac{\partial z}{\partial x}:
\frac{\partial^{2} z}{\partial x\partial y}=-2y\cdot(-2x\,z)=4xy\,z.
Pronto: obtivemos \dfrac{\partial^{2} z}{\partial x\partial y}=4xy\,z.

Passo 4

Verificação alternativa (útil para fixar): calcular na ordem inversa para confirmar a igualdade. Primeiro
\frac{\partial z}{\partial x}=-2x\,z
(conforme obtivemos). Agora derive isso em relação a y, tratando x como constante:
\frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)=\frac{\partial}{\partial y}(-2x\,z)=-2x\cdot\frac{\partial z}{\partial y}=-2x\cdot(-2y\,z)=4xy\,z.
As duas ordens dão o mesmo resultado, como era de se esperar (a função é suave, então as derivadas mistas coincidem).

Passo 5

Resumo didático-final e dica de prova: para funções do tipo e^{\text{algo}} use sempre a regra da cadeia; ao derivar parcialmente mantenha constantes as outras variáveis; quando aparecer z no resultado, fica prático reescrever e^{-x^{2}-y^{2}} como z para simplificar expressões rápidas na prova.

Resposta

\frac{\partial z}{\partial y}=-2y\,z
\frac{\partial^{2} z}{\partial x\partial y}=4xy\,z

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