1^{\mathrm{a}} Questão (1.7 pontos): Seja f(x, y, z)=y^{2}+x z+z^{3}-2 z-e^{-y}-1 e seja S a superfície de nível de S que contém o ponto ( -1,0,2 ).
a) Determine a equação do plano tangente à superfície de nível de S que contém o ponto ( -1,0,2 ).
b) Determine as equações paramétricas da reta normal a S no ponto.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y,z)=y^{2}+x z+z^{3}-2 z-e^{-y}-1
e a superfície S é a superfície de nível de f que contém o ponto (-1,0,2). As perguntas são:
a) Determinar a equação do plano tangente à superfície de nível S no ponto (-1,0,2).
b) Determinar as equações paramétricas da reta normal a S nesse ponto.
Informações relevantes fornecidas:
\text{o ponto: }(x_0,y_0,z_0)=(-1,0,2).
\text{a função }f(x,y,z)\text{ dada acima.}çã

Passo 2

Ideia-chave (explicação didática): para uma superfície de nível definida por f(x,y,z)= constante, o vetor gradiente de f,
\nabla f=(\partial f/\partial x,\;\partial f/\partial y,\;\partial f/\partial z),
é um vetor normal (perpendicular) à superfície em cada ponto. Isso vale porque o gradiente aponta na direção de maior variação de f e, em uma superfície de nível, a função não varia ao mover-se tangencialmente à superfície — logo o gradiente é ortogonal a todo vetor tangente. Exemplo simples para intuir: para \,f(x,y)=x^{2}+y^{2}\, o nível f=1 é o círculo; o gradiente em (1,0) é (2,0), que aponta radial e é perpendicular ao círculo naquele ponto.
Portanto, para achar o plano tangente vamos:
  1. calcular \nabla f,
  2. avaliar \nabla f no ponto (-1,0,2) (isso dá o vetor normal),
  3. usar a fórmula do plano: \nabla f(x_0,y_0,z_0)\cdot(x-x_0,y-y_0,z-z_0)=0.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de f passo a passo (explicando as regras usadas):
  • Para \partial f/\partial x: trate y e z como constantes. O único termo que depende de x é xz, cuja derivada em relação a x é z. Logo
\frac{\partial f}{\partial x}=z.
  • Para \partial f/\partial y: derive y^{2} dando 2y. O termo -e^{-y} requer a regra da cadeia: d(e^{-y})/dy=-e^{-y}, então d(-e^{-y})/dy=-(-e^{-y})=e^{-y}. Os outros termos não dependem de y. Assim
\frac{\partial f}{\partial y}=2y+e^{-y}.
  • Para \partial f/\partial z: derive xz em relação a z dando x; derive z^{3} dando 3z^{2}; derive -2z dando -2. Portanto
\frac{\partial f}{\partial z}=x+3z^{2}-2.
Colocando juntos:
\nabla f(x,y,z)=\bigl(z,\;2y+e^{-y},\;x+3z^{2}-2\bigr).

Passo 4

Avaliar o gradiente no ponto (-1,0,2). Substitua x=-1, y=0, z=2:
  • \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}\Big|_{(-1,0,2)}=z=2.
  • \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}\Big|_{(-1,0,2)}=2\cdot 0 + e^{0}=1.
  • \displaystyle \frac{\partial f}{\partial z}\Big|_{(-1,0,2)}=x+3z^{2}-2=-1+3\cdot 4-2=-1+12-2=9.
Logo o vetor normal (gradiente no ponto) é
\nabla f(-1,0,2)=(2,\,1,\,9).

Passo 5

Equação do plano tangente (desenvolvimento): usar a fórmula do plano tangente para superfície de nível f= const:
\nabla f(x_0,y_0,z_0)\cdot (x-x_0,y-y_0,z-z_0)=0.
Substituindo (x_0,y_0,z_0)=(-1,0,2) e \nabla f(-1,0,2)=(2,1,9):
(2,1,9)\cdot\bigl(x-(-1),\,y-0,\,z-2\bigr)=0.
Isto é
2(x+1)+1(y)+9(z-2)=0.
Fazendo as contas:
2x+2+y+9z-18=0 \;\Longrightarrow\; 2x+y+9z-16=0.

Passo 6

Reta normal: a reta normal à superfície em (-1,0,2) passa pelo ponto e tem direção dada pelo vetor normal \nabla f(-1,0,2)=(2,1,9). A forma paramétrica de uma reta com ponto (x_0,y_0,z_0) e vetor direção (a,b,c) é
(x,y,z)=(x_0,y_0,z_0)+t(a,b,c).
Assim, tomando t\in\mathbb{R},
x=-1+2t,\qquad y=0+1t,\qquad z=2+9t.

Resposta

2x+y+9z-16=0
x=-1+2t,\;y=t,\;z=2+9t

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