\mathbf{6}^{\mathbf{a}} Questão (valor \mathbf{1 , 0} ponto) Dada a equação e^{x}=\cos x+3, usando o Teorema do Valor Intermediário, apresente um intervalo de comprimento menor ou igual a 0,5 em que a equação possui solução (raiz). Justifique todas as suas afirmações.

Passo 1

O enunciado dá a equação \,e^{x}=\cos x+3\, e pede que eu apresente um intervalo de comprimento menor ou igual a 0{,}5 em que a equação possui solução (ou seja, onde existe uma raiz). Informações relevantes fornecidas:
  • A equação é a igualdade entre duas funções reais de x: e^{x} e \cos x+3.
  • O objetivo é identificar um intervalo [a,b] com b-a\le 0{,}5 tal que exista c\in[a,b] com e^{c}=\cos c+3.
    Nada mais é pedido além de justificar todas as afirmações.

Passo 2

Transformo o problema em achar zero de uma função: defino
f(x)=e^{x}-\cos x-3.
Assim, resolver \,e^{x}=\cos x+3\, é equivalente a encontrar x tal que f(x)=0.

Passo 3

Mostro que f é contínua (condição necessária para aplicar o Teorema do Valor Intermediário). Justificação:
  • A função x\mapsto e^{x} é contínua em \mathbb{R}.
  • A função x\mapsto \cos x é contínua em \mathbb{R}.
  • Soma e diferença de funções contínuas são contínuas.
    Portanto f(x)=e^{x}-\cos x-3 é contínua em \mathbb{R}.

Passo 4

Enuncio o Teorema do Valor Intermediário (TVI) que vou usar: se uma função g é contínua em [a,b] e g(a) e g(b) têm sinais opostos (isto é, g(a)\cdot g(b)\le 0 com pelo menos um valor não nulo), então existe c\in[a,b] tal que g\text{(c)}=0. Vou aplicar o TVI à função f em um intervalo [a,b] onde eu consiga verificar que f(a) e f(b) têm sinais opostos.

Passo 5

Escolho o intervalo candidato [1{,}2,\,1{,}3] (o comprimento é 1{,}3-1{,}2=0{,}1, que é \le 0{,}5). Agora calculo f nas extremidades com aproximações numéricas suficientes apenas para determinar o sinal.
Calculo f(1{,}2):
e^{1{,}2}\approx 3{,}320117,\qquad \cos(1{,}2)\approx 0{,}362358.
Logo
f(1{,}2)=e^{1{,}2}-\cos(1{,}2)-3\approx 3{,}320117-0{,}362358-3= -0{,}042241.
Portanto f(1{,}2)<0.

Passo 6

Calculo f(1{,}3):
e^{1{,}3}\approx 3{,}669297,\qquad \cos(1{,}3)\approx 0{,}267238.
Logo
f(1{,}3)=e^{1{,}3}-\cos(1{,}3)-3\approx 3{,}669297-0{,}267238-3=0{,}402059.
Portanto f(1{,}3)>0.

Passo 7

Temos f(1{,}2)<0 e f(1{,}3)>0. Como f é contínua em [1{,}2,\,1{,}3], pelo Teorema do Valor Intermediário existe c\in[1{,}2,\,1{,}3] tal que f\text{(c)}=0, ou seja, existe solução da equação e^{x}=\cos x+3 nesse intervalo. O comprimento do intervalo é 0{,}1\le 0{,}5, como exigido.

Passo 8

Conclusão clara e curta: o intervalo [1{,}2,\,1{,}3] contém uma raiz da equação dada e tem comprimento menor que 0{,}5. Todas as afirmações acima foram justificadas pela continuidade de f, cálculo dos sinais nas extremidades e aplicação do TVI.

Resposta

[1{,}2,\,1{,}3]

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