Questão (valor
ponto) Dada a equação
, usando o Teorema do Valor Intermediário, apresente um intervalo de comprimento menor ou igual a 0,5 em que a equação possui solução (raiz). Justifique todas as suas afirmações.
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede que eu apresente um intervalo de comprimento menor ou igual a
em que a equação possui solução (ou seja, onde existe uma raiz). Informações relevantes fornecidas:
- A equação é a igualdade entre duas funções reais de
: e . - O objetivo é identificar um intervalo
com tal que exista com .
Nada mais é pedido além de justificar todas as afirmações.
Passo 2
Transformo o problema em achar zero de uma função: defino
Assim, resolver
é equivalente a encontrar
tal que
.
Passo 3
Mostro que
é contínua (condição necessária para aplicar o Teorema do Valor Intermediário). Justificação:
- A função
é contínua em . - A função
é contínua em . - Soma e diferença de funções contínuas são contínuas.
Portantoé contínua em .
Passo 4
Enuncio o Teorema do Valor Intermediário (TVI) que vou usar: se uma função
é contínua em
e
e
têm sinais opostos (isto é,
com pelo menos um valor não nulo), então existe
tal que
. Vou aplicar o TVI à função
em um intervalo
onde eu consiga verificar que
e
têm sinais opostos.
Passo 5
Escolho o intervalo candidato
(o comprimento é
, que é
). Agora calculo
nas extremidades com aproximações numéricas suficientes apenas para determinar o sinal.
Calculo
:
Logo
Portanto
.
Passo 6
Calculo
:
Logo
Portanto
.
Passo 7
Temos
e
. Como
é contínua em
, pelo Teorema do Valor Intermediário existe
tal que
, ou seja, existe solução da equação
nesse intervalo. O comprimento do intervalo é
, como exigido.
Passo 8
Conclusão clara e curta: o intervalo
contém uma raiz da equação dada e tem comprimento menor que
. Todas as afirmações acima foram justificadas pela continuidade de
, cálculo dos sinais nas extremidades e aplicação do TVI.