4^{\mathbf{a}} Questão (valor \mathbf{1 , 0} ponto) Mostre que a função f(x)=3-2 x é contínua em x=x_{0} \in \mathbb{R} e conclua que ela é contínua em \mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado dá a função f definida por f(x)=3-2x e pede:
  • Mostrar que f é contínua em um ponto arbitrário x_0\in\mathbb{R}.
  • Concluir que f é contínua em todo \mathbb{R}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão explícita da função: f(x)=3-2x.
  • O ponto x_0 é um número real arbitrário (não foram dadas restrições sobre x_0).

Passo 2

Lembrando a definição (formal) de continuidade num ponto: dizer que f é contínua em x_0 significa que
\forall \varepsilon>0\\ \exists \delta>0\\ \text{tal que}\\ |x-x_0|<\delta \\ \Rightarrow\\ |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon.
Vou usar essa definição e, para cada \varepsilon>0, encontrar um \delta>0 apropriado que dependa de \varepsilon (e possivelmente de x_0), mostrando a implicação acima.

Passo 3

Calculo a diferença entre os valores da função em x e em x_0:
|f(x)-f(x_0)| = |(3-2x)-(3-2x_0)|.
Simplificando os termos constantes:
|(3-2x)-(3-2x_0)| = |-2x + 2x_0| = 2\,|x-x_0|.
Aqui usei propriedades básicas do valor absoluto e da aritmética: fatorando -2 e usando |-2|=2.

Passo 4

Dada uma tolerância arbitrária \varepsilon>0, queremos garantir |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon. Como acabamos de ver,
|f(x)-f(x_0)| = 2\,|x-x_0|.
Se escolhermos
\delta = \frac{\varepsilon}{2},
então sempre que |x-x_0|<\delta teremos
|f(x)-f(x_0)| = 2\,|x-x_0| < 2\cdot\delta = 2\cdot\frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon.
Portanto, para esse \delta a implicação da definição de continuidade é satisfeita. Como a escolha de \varepsilon>0 foi arbitrária, isso prova que f é contínua em x_0.

Passo 5

Concluímos que f é contínua em x_0. Como x_0 foi um ponto arbitrário de \mathbb{R}, a mesma prova vale para qualquer ponto real. Logo, f é contínua em todo \mathbb{R}.

Resposta

A função f(x)=3-2x é contínua em todo \mathbb{R}.

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