Questão (valor
ponto) Mostre que a função
é contínua em
e conclua que ela é contínua em
.
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
e pede:
- Mostrar que
é contínua em um ponto arbitrário . - Concluir que
é contínua em todo .
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão explícita da função:
. - O ponto
é um número real arbitrário (não foram dadas restrições sobre ).
Passo 2
Lembrando a definição (formal) de continuidade num ponto: dizer que
é contínua em
significa que
Vou usar essa definição e, para cada
, encontrar um
apropriado que dependa de
(e possivelmente de
), mostrando a implicação acima.
Passo 3
Calculo a diferença entre os valores da função em
e em
:
Simplificando os termos constantes:
Aqui usei propriedades básicas do valor absoluto e da aritmética: fatorando
e usando
.
Passo 4
Dada uma tolerância arbitrária
, queremos garantir
. Como acabamos de ver,
Se escolhermos
então sempre que
teremos
Portanto, para esse
a implicação da definição de continuidade é satisfeita. Como a escolha de
foi arbitrária, isso prova que
é contínua em
.
Passo 5
Concluímos que
é contínua em
. Como
foi um ponto arbitrário de
, a mesma prova vale para qualquer ponto real. Logo,
é contínua em todo
.
Resposta
A função
é contínua em todo
.