7^{\text {a }} Questão (valor 1,0 ponto) Usando a definição de derivada, determine a função derivada da função f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}, após determine a equação da reta tangente ao gráfico de f em x=2.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}} e pede duas coisas:
  • Usando a definição de derivada, determinar a função derivada f'(x).
  • Determinar a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto x=2.
Informações importantes que temos (tiradas diretamente do enunciado):
  • f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}}.
  • O ponto onde queremos a reta tangente é x=2, portanto o ponto no gráfico é \bigl(2,\,f(2)\bigr) com f(2)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}.

Passo 2

Definição de derivada (a ferramenta que vamos usar): para qualquer função f, a derivada em x é o limite
f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
O que isso significa, na prática:
  • A expressão \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} é a inclinação da secante que passa por (x,f(x)) e (x+h,f(x+h)).
  • O limite quando h\to0 dá a inclinação da reta tangente em x (a inclinação instantânea).
    Aqui h é um pequeno deslocamento em x; ao fazer h tender a zero obtemos a inclinação no ponto exato.

Passo 3

Aplicando a definição à nossa f. Vamos montar o quociente incremental e simplificar passo a passo:
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{\dfrac{1}{\sqrt{x+h}}-\dfrac{1}{\sqrt{x}}}{h}.
Coloco o numerador sobre um único denominador:
\frac{1}{h}\cdot\frac{\sqrt{x}-\sqrt{x+h}}{\sqrt{x+h}\,\sqrt{x}}.
Agora usamos um truque clássico para eliminar a diferença de raízes: multiplicar numerador e denominador por \sqrt{x+h}+\sqrt{x} (o conjugado). Fazendo isso:
\frac{1}{h}\cdot\frac{(\sqrt{x}-\sqrt{x+h})(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}{\sqrt{x+h}\,\sqrt{x}\,(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}.
No numerador a multiplicação dá uma diferença de quadrados:
(\sqrt{x}-\sqrt{x+h})(\sqrt{x+h}+\sqrt{x}) = x-(x+h) = -h.
Substituindo essa simplificação:
\frac{1}{h}\cdot\frac{-h}{\sqrt{x+h}\,\sqrt{x}\,(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}.
Agora cancelamos o h (desde que h\neq0, o que é permitido antes de tomar o limite):
\frac{-1}{\sqrt{x+h}\,\sqrt{x}\,(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}.

Passo 4

Tomamos o limite quando h\to0. Ao fazer h\to0 temos \sqrt{x+h}\to\sqrt{x}, então
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{-1}{\sqrt{x+h}\,\sqrt{x}\,(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})} = \frac{-1}{\sqrt{x}\,\sqrt{x}\,(\sqrt{x}+\sqrt{x})}.
Simplificando o denominador:
\sqrt{x}\,\sqrt{x}=x,\qquad \sqrt{x}+\sqrt{x}=2\sqrt{x},
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f'(x)=\frac{-1}{x\cdot 2\sqrt{x}}=\frac{-1}{2x\sqrt{x}}.
Escrevendo com potências:
f'(x)=-\dfrac{1}{2x^{3/2}}.
Breve comentário didático: a forma x^{3/2} significa x^{1}\cdot x^{1/2}=x\sqrt{x}. O sinal negativo indica que f é decrescente para x>0 (o que faz sentido: 1/\sqrt{x} diminui quando x aumenta).

Passo 5

Agora a reta tangente em x=2.
  1. Calculamos o coeficiente angular (a inclinação) usando a derivada:
f'(2)=-\dfrac{1}{2\cdot 2^{3/2}}.
Como 2^{3/2}=2\sqrt{2}, obtemos
f'(2)=-\dfrac{1}{2\cdot 2\sqrt{2}}=-\dfrac{1}{4\sqrt{2}}.
(Alternativamente f'(2)=-\dfrac{\sqrt{2}}{8}, obtido ao racionalizar.)
  1. O ponto de tangência é \bigl(2,f(2)\bigr) com
f(2)=\frac{1}{\sqrt{2}}.
  1. Usamos a forma ponto-inclinação da reta:
y-f(2)=f'(2)\bigl(x-2\bigr).
Substituindo os valores:
y-\frac{1}{\sqrt{2}}=-\frac{1}{4\sqrt{2}}(x-2).
  1. Se quiser na forma explícita y=mx+b, desenvolvemos:
y=-\frac{1}{4\sqrt{2}}x+\frac{1}{2\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}} =-\frac{1}{4\sqrt{2}}x+\frac{3}{2\sqrt{2}}.
Racionalizando os coeficientes (opcional):
-\frac{1}{4\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{8},\qquad \frac{3}{2\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{4},
portanto outra forma equivalente é
y=-\frac{\sqrt{2}}{8}\,x+\frac{3\sqrt{2}}{4}.

Resposta

f'(x)=-\dfrac{1}{2x^{3/2}}
Equação da reta tangente em x=2: y-\dfrac{1}{\sqrt{2}}=-\dfrac{1}{4\sqrt{2}}(x-2) (equivalente a y=-\dfrac{1}{4\sqrt{2}}x+\dfrac{3}{2\sqrt{2}}).

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