Questão (valor 1,0 ponto) Usando a definição de derivada, determine a função derivada da função
, após determine a equação da reta tangente ao gráfico de
em
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
- Usando a definição de derivada, determinar a função derivada
. - Determinar a equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto .
Informações importantes que temos (tiradas diretamente do enunciado):
-
. - O ponto onde queremos a reta tangente é
, portanto o ponto no gráfico é com .
Passo 2
Definição de derivada (a ferramenta que vamos usar): para qualquer função
, a derivada em
é o limite
O que isso significa, na prática:
- A expressão
é a inclinação da secante que passa por e . - O limite quando
dá a inclinação da reta tangente em (a inclinação instantânea).
Aquié um pequeno deslocamento em ; ao fazer tender a zero obtemos a inclinação no ponto exato.
Passo 3
Aplicando a definição à nossa
. Vamos montar o quociente incremental e simplificar passo a passo:
Coloco o numerador sobre um único denominador:
Agora usamos um truque clássico para eliminar a diferença de raízes: multiplicar numerador e denominador por
(o conjugado). Fazendo isso:
No numerador a multiplicação dá uma diferença de quadrados:
Substituindo essa simplificação:
Agora cancelamos o
(desde que
, o que é permitido antes de tomar o limite):
Passo 4
Tomamos o limite quando
. Ao fazer
temos
, então
Simplificando o denominador:
logo
Escrevendo com potências:
Breve comentário didático: a forma
significa
. O sinal negativo indica que
é decrescente para
(o que faz sentido:
diminui quando
aumenta).
Passo 5
Agora a reta tangente em
.
- Calculamos o coeficiente angular (a inclinação) usando a derivada:
Como
, obtemos
(Alternativamente
, obtido ao racionalizar.)
- O ponto de tangência é
com
- Usamos a forma ponto-inclinação da reta:
Substituindo os valores:
- Se quiser na forma explícita
, desenvolvemos:
Racionalizando os coeficientes (opcional):
portanto outra forma equivalente é
Resposta
Equação da reta tangente em