Questão (valor
ponto) Esboce o gráfico de uma função
que satisfaça a todas as condições:
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e todas as condições que a função precisa satisfazer (cada número entre parênteses peguei do enunciado):
- O enunciado pede: esboçar o gráfico de uma função
que satisfaça todas as condições abaixo simultaneamente. - Condições (dados):
-
. -
. -
. -
(o limite em não existe). -
. -
. -
.
-
Agora que tudo está claro (o que é pedido e o que é fornecido), vou construir uma função explícita por partes que cumpra cada uma dessas condições e vou explicar passo a passo por que cada parte funciona — assim você aprende a fazer algo semelhante na prova.
Passo 2
Estratégia geral (sem cálculos ainda): é mais simples dar uma definição por partes (uma função “piecewise”), com três blocos principais:
- uma expressão para
que garanta e ; - um valor isolado em
igual a para forçar um ponto isolado com salto (discontinuidade); - uma expressão para
que tenda a quando e que provoque a ausência de limite quando (uma maneira clássica de obter “limite que não existe” é usar uma função oscilatória como ); - uma expressão para
que tenha e .
Vou escolher funções simples para cada bloco, e depois verifico cada condição. Sempre que usar uma propriedade de limite ou comportamento, explico o motivo de modo bem didático.
Passo 3
Construção do bloco à esquerda (
):
- Quero
e também . - Uma função linear simples que faz isso é
para . - Verificação do limite lateral em
: se então , logo . - Verificação em
: se então , logo .
- Verificação do limite lateral em
- Observação: escolher uma reta com coeficiente angular positivo simples (aqui
) é suficiente e fácil de desenhar.
Passo 4
Valor no ponto
:
- O enunciado exige
. Vou definir explicitamente o valor do ponto: -
.
-
- Isso cria um ponto destacado no gráfico: os limites laterais em
(que já estipulei) não coincidem com o valor do ponto, então há uma descontinuidade do tipo salto com um ponto isolado.
Passo 5
Construção do bloco intermediário (
) que dê
e cause
inexistente:
- Ideia: usar uma função do tipo
(algo limitado), porque se quando , o produto tende a desde a direita mesmo que o fator limitado oscile. - Para causar ausência de limite em
é comum usar oscilações do tipo , que oscilam cada vez mais rápido quando . - Escolho então, para
: - Verificações:
- Quando
, o fator e fica entre e , logo o produto tende a . Assim , conforme pedido. - Quando
, temos (um valor finito) e oscila sem limite (porque e não tem limite quando o argumento tende a infinito). O produto então oscila entre e sem convergência, logo não existe.
- Quando
- Observação didática curta sobre a técnica: multiplicar por um fator que vá a zero é uma forma elegante de forçar um limite específico num extremo, enquanto manter uma oscilação controlada num outro extremo.
Passo 6
Bloco à direita (
) — garantir
e
:
- Preciso de uma função simples, que vá a
quando e cujo valor em torno de tenda a . Uma boa escolha é uma razão racional com numerador que zera em e denominador que cresce com , por exemplo - Verificações:
- Quando
, o numerador e o denominador , logo . Isso dá conforme pedido. - Quando
, temos , então . - O limite à direita de
para essa expressão é . Como já vimos no Passo 5 a limite pela esquerda em não existe, isso garante que o limite em (no sentido bilateral) seja inexistente, que é o que o enunciado pede.
- Quando
- Para deixar a função bem-definida em
, posso atribuir qualquer valor — o enunciado não exige um valor em . Para ser explícito, definirei (valor à escolha), mas esse valor não altera o fato de que não existe.
Passo 7
Resumo das definições e verificação completa das condições (checar uma a uma):
- Definição proposta (resumo verbal antes do bloco final):
- Para
: reta . Garante e . - Em
: valor isolado . - Para
: . Garante e que a esquerda em não tem limite. - Em
: atribuí (valor arbitrário, não pedido). - Para
: . Garante e . O limite à direita em é , combinando com a falta de limite à esquerda em para que .
- Para
- Rechecagem direta:
-
por definição. -
porque e é limitado. -
. -
não existe (oscilação); ; portanto não existe. -
porque o numerador de zera em . -
pela ordem do grau (numerador linear, denominador quadrático). -
porque para a função é .
-
- Tudo confere com as sete condições do enunciado.
Passo 8
Como esboçar o gráfico (passo a passo prático para a prova):
- Desenhe o eixo
horizontal e o eixo vertical; marque os pontos , e . - Para
: desenhe a reta . Ela passa por (observe que esse é o limite vindo da esquerda) e desce indefinidamente para a esquerda (vai para quando ). - Em
: desenhe um ponto isolado em (ponto cheio), indicando . - Para
: desenhe uma curva que começa perto de quando está logo à direita de (porque o limite direito em é ), e que à medida que se aproxima de começa a oscilar rapidamente entre valores aproximadamente e (porque aproxima-se de e oscila). Não é preciso desenhar todas as oscilações, apenas indicar que a curva fica cada vez mais oscilante e que não tem limite em . - Em
: marque um ponto (por exemplo ), sabendo que o valor do ponto não altera o fato de que o limite não existe. Mostre também o limite à direita chegando na curva do bloco à direita. - Para
: desenhe a curva suave , que em passa por (isso garante ) e que tende a quando . Mostre que à direita de a curva aproxima-se do valor conforme . - Resultado: você terá uma reta à esquerda terminando numa descontinuidade em
(valor do ponto diferente dos limites), um ramo oscilante entre e provocando a não existência do limite em , e um ramo suave para que passa por em e decai para no infinito positivo.