\mathbf{3}^{\mathbf{a}} Questão (valor \mathbf{1 , 0} ponto) Esboce o gráfico de uma função f que satisfaça a todas as condições:
\begin{aligned} f(-2) & =2 \lim _{x \rightarrow(-2)^{+}} f(x)=0, \lim _{x \rightarrow(-2)^{-}} f(x)=1, \lim _{x \rightarrow 1} f(x)=\nexists, \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0, \\ \lim _{x \rightarrow-\infty} f(x) & =-\infty, \lim _{x \rightarrow+3} f(x)=0 \end{aligned}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e todas as condições que a função precisa satisfazer (cada número entre parênteses peguei do enunciado):
  • O enunciado pede: esboçar o gráfico de uma função f que satisfaça todas as condições abaixo simultaneamente.
  • Condições (dados):
    1. f(-2)=2.
    2. \displaystyle \lim_{x\to(-2)^+} f(x)=0.
    3. \displaystyle \lim_{x\to(-2)^-} f(x)=1.
    4. \displaystyle \lim_{x\to 1} f(x)=\nexists (o limite em x=1 não existe).
    5. \displaystyle \lim_{x\to +\infty} f(x)=0.
    6. \displaystyle \lim_{x\to -\infty} f(x)=-\infty.
    7. \displaystyle \lim_{x\to +3} f(x)=0.
Agora que tudo está claro (o que é pedido e o que é fornecido), vou construir uma função explícita por partes que cumpra cada uma dessas condições e vou explicar passo a passo por que cada parte funciona — assim você aprende a fazer algo semelhante na prova.

Passo 2

Estratégia geral (sem cálculos ainda): é mais simples dar uma definição por partes (uma função “piecewise”), com três blocos principais:
  • uma expressão para x<-2 que garanta \lim_{x\to -\infty}f(x)=-\infty e \lim_{x\to(-2)^-}f(x)=1;
  • um valor isolado em x=-2 igual a 2 para forçar um ponto isolado com salto (discontinuidade);
  • uma expressão para -2<x<1 que tenda a 0 quando x\to(-2)^+ e que provoque a ausência de limite quando x\to1 (uma maneira clássica de obter “limite que não existe” é usar uma função oscilatória como \sin(1/(1-x)));
  • uma expressão para x>1 que tenha \lim_{x\to +\infty} f(x)=0 e \lim_{x\to 3} f(x)=0.
Vou escolher funções simples para cada bloco, e depois verifico cada condição. Sempre que usar uma propriedade de limite ou comportamento, explico o motivo de modo bem didático.

Passo 3

Construção do bloco à esquerda ( x<-2):
  • Quero \displaystyle \lim_{x\to(-2)^-} f(x)=1 e também \displaystyle \lim_{x\to -\infty} f(x)=-\infty.
  • Uma função linear simples que faz isso é \;f(x)=x+3\; para x<-2.
    • Verificação do limite lateral em -2: se x\to -2^- então x+3\to -2+3=1, logo \displaystyle \lim_{x\to(-2)^-} f(x)=1.
    • Verificação em -\infty: se x\to -\infty então x+3\to -\infty, logo \displaystyle \lim_{x\to -\infty} f(x)=-\infty.
  • Observação: escolher uma reta com coeficiente angular positivo simples (aqui 1) é suficiente e fácil de desenhar.

Passo 4

Valor no ponto x=-2:
  • O enunciado exige f(-2)=2. Vou definir explicitamente o valor do ponto:
    • f(-2)=2.
  • Isso cria um ponto destacado no gráfico: os limites laterais em -2 (que já estipulei) não coincidem com o valor do ponto, então há uma descontinuidade do tipo salto com um ponto isolado.

Passo 5

Construção do bloco intermediário ( -2<x<1) que dê \lim_{x\to(-2)^+} f(x)=0 e cause \lim_{x\to 1} f(x) inexistente:
  • Ideia: usar uma função do tipo (x+2)\cdot (algo limitado), porque se (x+2)\to 0 quando x\to -2^+, o produto tende a 0 desde a direita mesmo que o fator limitado oscile.
  • Para causar ausência de limite em x=1 é comum usar oscilações do tipo \sin\big(\tfrac{1}{1-x}\big), que oscilam cada vez mais rápido quando x\to1^-.
  • Escolho então, para -2<x<1: f(x)=(x+2)\sin\!\left(\frac{1}{1-x}\right).
  • Verificações:
    • Quando x\to -2^+, o fator (x+2)\to 0 e \sin(\cdot) fica entre -1 e 1, logo o produto tende a 0. Assim \displaystyle \lim_{x\to(-2)^+} f(x)=0, conforme pedido.
    • Quando x\to 1^-, temos (x+2)\to 3 (um valor finito) e \sin\big(\tfrac{1}{1-x}\big) oscila sem limite (porque \tfrac{1}{1-x}\to +\infty e \sin não tem limite quando o argumento tende a infinito). O produto então oscila entre -3 e 3 sem convergência, logo \displaystyle \lim_{x\to 1^-} f(x) não existe.
  • Observação didática curta sobre a técnica: multiplicar por um fator que vá a zero é uma forma elegante de forçar um limite específico num extremo, enquanto manter uma oscilação controlada num outro extremo.

Passo 6

Bloco à direita ( x>1) — garantir \displaystyle \lim_{x\to +\infty} f(x)=0 e \displaystyle \lim_{x\to +3} f(x)=0:
  • Preciso de uma função simples, que vá a 0 quando x\to +\infty e cujo valor em torno de x=3 tenda a 0. Uma boa escolha é uma razão racional com numerador que zera em x=3 e denominador que cresce com x, por exemplo f(x)=\frac{x-3}{x^2+1}\qquad (x>1).
  • Verificações:
    • Quando x\to 3, o numerador x-3\to 0 e o denominador x^2+1\to 10, logo \displaystyle \lim_{x\to 3} f(x)=0. Isso dá \displaystyle \lim_{x\to +3} f(x)=0 conforme pedido.
    • Quando x\to +\infty, temos \dfrac{x-3}{x^2+1}\sim \dfrac{x}{x^2}=\dfrac{1}{x}\to 0, então \displaystyle \lim_{x\to +\infty} f(x)=0.
    • O limite à direita de x=1 para essa expressão é \displaystyle \lim_{x\to 1^+}\frac{x-3}{x^2+1}=\frac{1-3}{1+1}=-1. Como já vimos no Passo 5 a limite pela esquerda em 1 não existe, isso garante que o limite em x=1 (no sentido bilateral) seja inexistente, que é o que o enunciado pede.
  • Para deixar a função bem-definida em x=1, posso atribuir qualquer valor — o enunciado não exige um valor em 1. Para ser explícito, definirei f(1)=0 (valor à escolha), mas esse valor não altera o fato de que \lim_{x\to 1} f(x) não existe.

Passo 7

Resumo das definições e verificação completa das condições (checar uma a uma):
  • Definição proposta (resumo verbal antes do bloco final):
    • Para x<-2: reta x+3. Garante \lim_{x\to -\infty} f(x)=-\infty e \lim_{x\to(-2)^-} f(x)=1.
    • Em x=-2: valor isolado 2.
    • Para -2<x<1: f(x)=(x+2)\sin\!\big(\tfrac{1}{1-x}\big). Garante \lim_{x\to(-2)^+} f(x)=0 e que a esquerda em 1 não tem limite.
    • Em x=1: atribuí f(1)=0 (valor arbitrário, não pedido).
    • Para x>1: f(x)=\dfrac{x-3}{x^2+1}. Garante \lim_{x\to 3} f(x)=0 e \lim_{x\to +\infty} f(x)=0. O limite à direita em 1 é -1, combinando com a falta de limite à esquerda em 1 para que \lim_{x\to 1} f(x)=\nexists.
  • Rechecagem direta:
    • f(-2)=2 por definição.
    • \lim_{x\to(-2)^+} f(x)=\lim_{x\to(-2)^+} (x+2)\sin\!\big(\tfrac{1}{1-x}\big)=0 porque x+2\to 0 e \sin(\cdot) é limitado.
    • \lim_{x\to(-2)^-} f(x)=\lim_{x\to(-2)^-} (x+3)=1.
    • \lim_{x\to 1^-} f(x) não existe (oscilação); \lim_{x\to 1^+} f(x)=-1; portanto \lim_{x\to 1} f(x) não existe.
    • \lim_{x\to +3} f(x)=0 porque o numerador de \dfrac{x-3}{x^2+1} zera em x=3.
    • \lim_{x\to +\infty} f(x)=0 pela ordem do grau (numerador linear, denominador quadrático).
    • \lim_{x\to -\infty} f(x)=-\infty porque para x<-2 a função é x+3.
  • Tudo confere com as sete condições do enunciado.

Passo 8

Como esboçar o gráfico (passo a passo prático para a prova):
  • Desenhe o eixo x horizontal e o eixo y vertical; marque os pontos x=-2, x=1 e x=3.
  • Para x<-2: desenhe a reta y=x+3. Ela passa por (-2,1) (observe que esse é o limite vindo da esquerda) e desce indefinidamente para a esquerda (vai para -\infty quando x\to -\infty).
  • Em x=-2: desenhe um ponto isolado em (-2,2) (ponto cheio), indicando f(-2)=2.
  • Para -2<x<1: desenhe uma curva que começa perto de 0 quando x está logo à direita de -2 (porque o limite direito em -2 é 0), e que à medida que se aproxima de x=1 começa a oscilar rapidamente entre valores aproximadamente -3 e 3 (porque (x+2) aproxima-se de 3 e \sin oscila). Não é preciso desenhar todas as oscilações, apenas indicar que a curva fica cada vez mais oscilante e que não tem limite em 1.
  • Em x=1: marque um ponto (por exemplo f(1)=0), sabendo que o valor do ponto não altera o fato de que o limite não existe. Mostre também o limite à direita -1 chegando na curva do bloco à direita.
  • Para x>1: desenhe a curva suave \dfrac{x-3}{x^2+1}, que em x=3 passa por 0 (isso garante \lim_{x\to 3} f(x)=0) e que tende a 0 quando x\to +\infty. Mostre que à direita de 1 a curva aproxima-se do valor -1 conforme x\to1^+.
  • Resultado: você terá uma reta à esquerda terminando numa descontinuidade em -2 (valor do ponto diferente dos limites), um ramo oscilante entre -2 e 1 provocando a não existência do limite em 1, e um ramo suave para x>1 que passa por 0 em x=3 e decai para 0 no infinito positivo.

Resposta

f(x)= \begin{cases} x+3, & x<-2,\\[4pt] 2, & x=-2,\\[4pt] (x+2)\sin\!\left(\dfrac{1}{1-x}\right), & -2<x<1,\\[6pt] 0, & x=1,\\[4pt] \dfrac{x-3}{x^2+1}, & x>1. \end{cases}]

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