\mathbf{2}^{\mathbf{a}} Questão (valor \mathbf{1 , 0} ponto) Considere que \lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=L e \lim _{x \rightarrow x_{0}} g(x)=M, mostre que \lim _{x \rightarrow x_{0}}(f(x) \cdot g(x))=L \cdot M.
Passo 1
O enunciado dá duas hipóteses e pede uma conclusão clara. Vou listar com calma.
Hipóteses (o enunciado fornece):
\displaystyle \lim_{x\to x_0} f(x)=L.
\displaystyle \lim_{x\to x_0} g(x)=M.
O que pedir para mostrar:
Mostrar que \displaystyle \lim_{x\to x_0} \bigl(f(x)\cdot g(x)\bigr)=L\cdot M.
Passo 2
Escolha do método e ideia principal (sem entrar ainda nas contas): vou fazer uma prova \varepsilon-\delta (definição clássica de limite) porque é a forma direta e rigorosa de provar que o produto tende ao produto dos limites. A linha de ataque é escrever a diferença
f(x)g(x)-L M
de modo a separar um termo envolvendo g(x)-M e outro envolvendo f(x)-L, e então controlar cada um desses termos por quantidades pequenas. Isso permite escolher um \delta que depende de um \varepsilon>0 dado.
Passo 3
Identidade algébrica útil e desigualdade aplicada: desenvolvemos a diferença e usamos a desigualdade triangular.
Primeiro, passo algébrico:
f(x)g(x)-L M = f(x)g(x)-f(x)M + f(x)M - L M.
Agrupando:
f(x)g(x)-L M = f(x)\bigl(g(x)-M\bigr) + M\bigl(f(x)-L\bigr).
Agora tomamos valor absoluto e aplicamos a desigualdade triangular \lvert a+b\rvert \le \lvert a\rvert + \lvert b\rvert e a propriedade \lvert ab\rvert = \lvert a\rvert\lvert b\rvert. Assim:
Esta desigualdade mostra que se conseguirmos controlar \lvert g(x)-M\rvert e \lvert f(x)-L\rvert por quantidades pequenas e garantir que \lvert f(x)\rvert não seja muito grande perto de x_0, então a soma será pequena.
Passo 4
Como controlar \lvert f(x)\rvert perto de x_0: usar que \lim_{x\to x_0} f(x)=L.
Pelo fato de \lim_{x\to x_0} f(x)=L, existe um \delta'\!>0 tal que, para 0<\lvert x-x_0\rvert<\delta',
Ou seja, em uma vizinhança de x_0 (excluindo x_0, como exige a definição de limite), f(x) fica limitada por \lvert L\rvert+1. Essa é a razão pela qual impusemos a condição \lvert f(x)-L\rvert<1: para obter uma cota simples para \lvert f(x)\rvert.
Passo 5
Escolha explícita de \delta em função de \varepsilon. Agora fazemos o procedimento padrão de \varepsilon-\delta.
Seja \varepsilon>0 dado. Queremos encontrar \delta>0 tal que, sempre que 0<\lvert x-x_0\rvert<\delta, valha
Note que essa exigência também será compatível com a exigência \lvert f(x)-L\rvert<1 se tomarmos o mínimo mais adiante.
Para controlar o primeiro termo \lvert f(x)\rvert\lvert g(x)-M\rvert, usamos a cota \lvert f(x)\rvert \le 1+\lvert L\rvert obtida no Passo 4 e exigimos
Portanto, dado qualquer \varepsilon>0 encontramos \delta>0 tal que, para 0<\lvert x-x_0\rvert<\delta, vale \bigl\lvert f(x)g(x)-L M\bigr\rvert<\varepsilon. Isso é exatamente a definição de
\lim_{x\to x_0} \bigl(f(x)g(x)\bigr)=L M.
Passo 7
Resumo final e reforço didático (motivação prática): a prova usa a identidade
f(x)g(x)-L M = f(x)\bigl(g(x)-M\bigr) + M\bigl(f(x)-L\bigr),
que separa os erros relativos a f e a g. Em seguida, controla-se \lvert f(x)\rvert por uma cota finita próxima a x_0 (isso é possível porque f(x)\to L), e escolhe-se um \delta que torna ambos os termos menores que metade de \varepsilon. Essa técnica (separar, limitar um fator e escolher tolerâncias \varepsilon/2) é padrão em provas de propriedades de limites e funciona também para mostrar que soma, produto e quociente (quando o limite do denominador é não nulo) preservam limites.
Resposta
\displaystyle \lim_{x\to x_0} \bigl(f(x)\cdot g(x)\bigr)=L\cdot M