Questão (Valor:
pontos): Considere um sólido A (puro) sublima a
e 1 atm e se difunde através de uma camada de gás inerte e estagnado de 2 mm . Diante dessas informações determine:
(a) As hipóteses para esse sistema;
(b) A taxa de sublimação considerando que o sólido tem geometria retangular com 2 cm de altura (z) e 16 cm de profundidade e comprimento ( x e y );
(c) A taxa de sublimação considerando que o sólido tem geometria esférica com 2 cm de diâmetro;
(d) O tempo necessário para o sólido com geometria retangular sublimar por completo;
(a) As hipóteses para esse sistema;
(b) A taxa de sublimação considerando que o sólido tem geometria retangular com 2 cm de altura (z) e 16 cm de profundidade e comprimento ( x e y );
(c) A taxa de sublimação considerando que o sólido tem geometria esférica com 2 cm de diâmetro;
(d) O tempo necessário para o sólido com geometria retangular sublimar por completo;
Passo 1
O enunciado pede quatro coisas sobre um sólido
que sublima a
e
, com uma camada de gás inerte e estagnado de espessura
acima da superfície do sólido:
- (a) listar as hipóteses usadas para modelar o processo;
- (b) calcular a taxa de sublimação quando o sólido tem geometria retangular com altura
e largura/comprimento ; - (c) calcular a taxa de sublimação quando o sólido é esférico com diâmetro
; - (d) determinar o tempo necessário para o sólido retangular sublimar por completo.
Dados explícitos que vêm do enunciado:
retângulo:
,
esfera: diâmetro (logo raio
).
esfera: diâmetro
Observação importante: o enunciado não fornece massa molar nem densidade do sólido nem o coeficiente de difusão
. Vou apresentar fórmulas detalhadas que usam esses parâmetros (quando necessário) e, quando necessário, adotarei um valor típico de
para gases para obter números demonstrativos — deixando claro quando estou assumindo algo.
Passo 2
Hipóteses (resposta do item (a)) — aqui eu explico cada hipótese e por que ela é razoável:
- A sublimação é controlada por difusão através de uma película gasosa estacionária e fina (espessura
). Ou seja, a resistência de transporte está na filmagem de gás acima da superfície do sólido (regime cinético superficial desprezível). - Regime estacionário para a difusão na película: as concentrações no filme atingem um perfil linear constante no tempo (fluxo constante).
- Não há convecção forçada na camada de gás; o gás é inerte e estagnado.
- No gás, o transporte de massa é regido por difusão molecular com um coeficiente
constante (independente de e de ). - A concentração de
na superfície do sólido é a concentração de vapor em equilíbrio a e . Dado que o enunciado diz que o sólido sublima a e , interpretamos que a pressão de vapor de sobre o sólido na superfície é (ou seja, a fase gasosa sobre a superfície é composta por na pressão total indicada). A concentração do componente longe da superfície (no gás inerte) é tomada como nula: . - Gás ideal para converter pressão em concentração:
com . - Sublimação ocorre apenas pela face exposta à película; no caso do retângulo, considero a face superior (área
) exposta (as laterais podem ser desprezíveis ou apoiadas).
Passo 3
Fórmula fundamental usada (explicação didática).
- Para difusão unidimensional e estacionária através da película de espessura
com concentração linear entre superfície ( ) e o bulk ( ), a lei de Fick no regime estacionário dá o fluxo molar (por unidade de área) de :
- Com linearidade e
, isso integra para
Aqui:
-
é o fluxo molar de através da película, em . -
é o coeficiente de difusão molecular do vapor de no gás inerte, em . -
é a concentração molar de imediatamente sobre a superfície, em . -
é a espessura da película, em . -
Para converter a pressão na superfície em concentração usamos gás ideal:
- A taxa molar total de sublimação (mol/s) é
onde
é a área exposta (m^2). A taxa de massa é
onde
é a massa molar de
(em
).
- O tempo para sublimar totalmente uma peça cuja massa por área é
(densidade e espessura/altura ) pode ser obtido igualando massa por área à massa perdida por área ao longo do tempo:
Explico:
é massa por área (kg/m^2), dividindo por
dá moles por área; dividindo pelo fluxo molar por área
dá o tempo.
Passo 4
Cálculo de
usando
e gás ideal:
Faço as contas passo a passo:
Em notação TeX (com vírgula decimal):
Passo 5
Escolha de
e cálculo do fluxo molar
.
- Tipicamente, coeficientes de difusão de vapores em gases são da ordem de
. Vou adotar um valor representativo:
(Se você tiver outro valor experimental, basta substituir.)
- Agora aplico a fórmula
Substituindo números:
Calcule passo a passo:
logo
Passo 6
Taxa de sublimação para o sólido retangular (item (b)).
- Área exposta (suposição: apenas a face superior
está efetivamente sublimando):
- Taxa molar total:
- Taxa de massa (em função de
, massa molar de ):
Explicação prática:
quer dizer que, mantendo as hipóteses, a peça perde cerca de
mol de
por segundo pela face superior.
Passo 7
Taxa de sublimação para a esfera (item (c)).
- Área da esfera exposta:
- Taxa molar:
- Taxa de massa:
Observação: a taxa da esfera é bem menor porque a área exposta é muito menor do que a do retângulo.
Passo 8
Tempo necessário para o sólido retangular sublimar por completo (item (d)).
- Usando a expressão já deduzida:
onde
é a densidade do sólido (
),
a espessura inicial da peça (
),
a massa molar (
) e
o fluxo molar por área (
).
- Substituindo
e :
Isto é uma expressão prática: para obter o tempo em segundos basta conhecer
e
.
Exemplo numérico ilustrativo (apenas exemplo — os valores de
e
dependem do sólido real):
- Se
e (isto é, ), então
Mas reforço: o tempo real varia linearmente com
e inversamente com
; substitua os valores corretos do sólido para obter o tempo real.
Resposta
(a) Hipóteses:
- sublimação controlada por difusão através de película estacionária de espessura
, - regime estacionário na película,
- gás inerte e estagnado (sem convecção),
- coeficiente de difusão
constante, - concentração na superfície dada por
(logo ), concentração no bulk , - gás ideal.
(b) Taxa de sublimação (retângulo, face superior exposta):
(c) Taxa de sublimação (esfera, diâmetro
):
(d) Tempo para sublimar completamente o retângulo (expressão geral):
onde
é a densidade do sólido (
),
a massa molar (
), e
. (Exemplo: para
e
obtém-se
.)