\mathbf{3}^{\mathbf{a}} Questão (Valor: \mathbf{6 , 0} pontos): Considere um sólido A (puro) sublima a 30^{\circ} \mathrm{C} e 1 atm e se difunde através de uma camada de gás inerte e estagnado de 2 mm . Diante dessas informações determine:
(a) As hipóteses para esse sistema;
(b) A taxa de sublimação considerando que o sólido tem geometria retangular com 2 cm de altura (z) e 16 cm de profundidade e comprimento ( x e y );
(c) A taxa de sublimação considerando que o sólido tem geometria esférica com 2 cm de diâmetro;
(d) O tempo necessário para o sólido com geometria retangular sublimar por completo;

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas sobre um sólido A que sublima a 30^\circ\mathrm{C} e 1\\ \mathrm{atm}, com uma camada de gás inerte e estagnado de espessura 2\\ \mathrm{mm} acima da superfície do sólido:
  • (a) listar as hipóteses usadas para modelar o processo;
  • (b) calcular a taxa de sublimação quando o sólido tem geometria retangular com altura z=2\\ \mathrm{cm} e largura/comprimento x=y=16\\ \mathrm{cm};
  • (c) calcular a taxa de sublimação quando o sólido é esférico com diâmetro 2\\ \mathrm{cm};
  • (d) determinar o tempo necessário para o sólido retangular sublimar por completo.
Dados explícitos que vêm do enunciado:
T = 30^\circ\mathrm{C} = 303{,}15\\ \mathrm{K},\qquad p = 1\\ \mathrm{atm} = 101325\\ \mathrm{Pa},
\delta = 2\\ \mathrm{mm} = 0{,}002\\ \mathrm{m},
retângulo: x=0{,}16\\ \mathrm{m},\; y=0{,}16\\ \mathrm{m},\; z=0{,}02\\ \mathrm{m},
esfera: diâmetro =0{,}02\\ \mathrm{m} (logo raio r=0{,}01\\ \mathrm{m}).
Observação importante: o enunciado não fornece massa molar nem densidade do sólido nem o coeficiente de difusão D_{AB}. Vou apresentar fórmulas detalhadas que usam esses parâmetros (quando necessário) e, quando necessário, adotarei um valor típico de D_{AB} para gases para obter números demonstrativos — deixando claro quando estou assumindo algo.

Passo 2

Hipóteses (resposta do item (a)) — aqui eu explico cada hipótese e por que ela é razoável:
  1. A sublimação é controlada por difusão através de uma película gasosa estacionária e fina (espessura \delta). Ou seja, a resistência de transporte está na filmagem de gás acima da superfície do sólido (regime cinético superficial desprezível).
  2. Regime estacionário para a difusão na película: as concentrações no filme atingem um perfil linear constante no tempo (fluxo constante).
  3. Não há convecção forçada na camada de gás; o gás é inerte e estagnado.
  4. No gás, o transporte de massa é regido por difusão molecular com um coeficiente D_{AB} constante (independente de z e de c).
  5. A concentração de A na superfície do sólido é a concentração de vapor em equilíbrio a T e p. Dado que o enunciado diz que o sólido sublima a 30^\circ\mathrm{C} e 1\\ \mathrm{atm}, interpretamos que a pressão de vapor de A sobre o sólido na superfície é p_{A,s}=1\\ \mathrm{atm} (ou seja, a fase gasosa sobre a superfície é composta por A na pressão total indicada). A concentração do componente A longe da superfície (no gás inerte) é tomada como nula: c_{A,\infty}=0.
  6. Gás ideal para converter pressão em concentração: c = p/(R T) com R=8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.
  7. Sublimação ocorre apenas pela face exposta à película; no caso do retângulo, considero a face superior (área x\cdot y) exposta (as laterais podem ser desprezíveis ou apoiadas).

Passo 3

Fórmula fundamental usada (explicação didática).
  • Para difusão unidimensional e estacionária através da película de espessura \delta com concentração linear entre superfície ( c_{A,s}) e o bulk ( c_{A,\infty}), a lei de Fick no regime estacionário dá o fluxo molar (por unidade de área) de A:
N_A = -D_{AB}\,\frac{dc_A}{dz}.
  • Com linearidade e c_{A,\infty}=0, isso integra para
N_A = D_{AB}\,\frac{c_{A,s}}{\delta}.
Aqui:
  • N_A é o fluxo molar de A através da película, em \mathrm{mol/(m^2\cdot s)}.
  • D_{AB} é o coeficiente de difusão molecular do vapor de A no gás inerte, em \mathrm{m^2/s}.
  • c_{A,s} é a concentração molar de A imediatamente sobre a superfície, em \mathrm{mol/m^3}.
  • \delta é a espessura da película, em \mathrm{m}.
  • Para converter a pressão na superfície em concentração usamos gás ideal:
c_{A,s} = \frac{p_{A,s}}{R T}.
  • A taxa molar total de sublimação (mol/s) é
\dot n = N_A \cdot A,
onde A é a área exposta (m^2). A taxa de massa é
\dot m = \dot n \cdot M,
onde M é a massa molar de A (em \mathrm{kg/mol}).
  • O tempo para sublimar totalmente uma peça cuja massa por área é \rho z (densidade \rho e espessura/altura z) pode ser obtido igualando massa por área à massa perdida por área ao longo do tempo:
\frac{\rho z}{M} = N_A \, t \quad\Rightarrow\quad t = \frac{\rho z}{M N_A}.
Explico: \rho z é massa por área (kg/m^2), dividindo por M dá moles por área; dividindo pelo fluxo molar por área N_A dá o tempo.

Passo 4

Cálculo de c_{A,s} usando p_{A,s}=1\\ \mathrm{atm} e gás ideal:
c_{A,s} = \frac{p_{A,s}}{R T} = \frac{101325\\ \mathrm{Pa}}{8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}\times 303{,}15\\ \mathrm{K}}.
Faço as contas passo a passo:
8{,}314\times 303{,}15 \approx 2520{,}40,
c_{A,s} \approx \frac{101325}{2520{,}40}\approx 40{,}18\\ \mathrm{mol/m^3}.
Em notação TeX (com vírgula decimal):
c_{A,s}\approx 40{,}18\\ \mathrm{mol/m^3}.

Passo 5

Escolha de D_{AB} e cálculo do fluxo molar N_A.
  • Tipicamente, coeficientes de difusão de vapores em gases são da ordem de 10^{-5}\\ \mathrm{m^2/s}. Vou adotar um valor representativo:
D_{AB} = 2{,}0\times 10^{-5}\\ \mathrm{m^2/s}.
(Se você tiver outro valor experimental, basta substituir.)
  • Agora aplico a fórmula
N_A = D_{AB}\,\frac{c_{A,s}}{\delta}.
Substituindo números:
N_A = 2{,}0\times 10^{-5}\cdot\frac{40{,}18}{0{,}002}.
Calcule passo a passo:
\frac{2{,}0\times 10^{-5}}{0{,}002} = 1{,}0\times 10^{-2},
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N_A = 1{,}0\times 10^{-2}\times 40{,}18 \approx 0{,}4018\\ \mathrm{mol/(m^2\cdot s)}.

Passo 6

Taxa de sublimação para o sólido retangular (item (b)).
  • Área exposta (suposição: apenas a face superior x\times y está efetivamente sublimando):
A_{\text{ret}} = x\cdot y = 0{,}16\\ \mathrm{m}\times 0{,}16\\ \mathrm{m} = 0{,}0256\\ \mathrm{m^2}.
  • Taxa molar total:
\dot n_{\text{ret}} = N_A\cdot A_{\text{ret}} = 0{,}4018\times 0{,}0256 \approx 0{,}01029\\ \mathrm{mol/s}.
  • Taxa de massa (em função de M, massa molar de A):
\dot m_{\text{ret}} = \dot n_{\text{ret}}\cdot M \approx 0{,}01029\\ M\quad\text{(com \(M\) em \(\mathrm{kg/mol}\), resultado em \(\mathrm{kg/s}\)).}
Explicação prática: 0{,}01029\\ \mathrm{mol/s} quer dizer que, mantendo as hipóteses, a peça perde cerca de 0{,}01029 mol de A por segundo pela face superior.

Passo 7

Taxa de sublimação para a esfera (item (c)).
  • Área da esfera exposta:
A_{\text{sph}} = 4\pi r^2 = 4\pi (0{,}01\\ \mathrm{m})^2 = 4\pi\times 10^{-4}\\ \mathrm{m^2}\approx 1{,}2566\times 10^{-3}\\ \mathrm{m^2}.
  • Taxa molar:
\dot n_{\text{sph}} = N_A\cdot A_{\text{sph}} \approx 0{,}4018\times 1{,}2566\times 10^{-3}\approx 0{,}0005049\\ \mathrm{mol/s}.
  • Taxa de massa:
\dot m_{\text{sph}} = \dot n_{\text{sph}}\cdot M \approx 0{,}0005049\\ M\quad\text{(em \(\mathrm{kg/s}\)).}
Observação: a taxa da esfera é bem menor porque a área exposta é muito menor do que a do retângulo.

Passo 8

Tempo necessário para o sólido retangular sublimar por completo (item (d)).
  • Usando a expressão já deduzida:
t = \frac{\rho z}{M N_A},
onde \rho é a densidade do sólido ( \mathrm{kg/m^3}), z a espessura inicial da peça ( 0{,}02\\ \mathrm{m}), M a massa molar ( \mathrm{kg/mol}) e N_A o fluxo molar por área ( \mathrm{mol/(m^2\cdot s)}).
  • Substituindo N_A\approx 0{,}4018\\ \mathrm{mol/(m^2\cdot s)} e z=0{,}02\\ \mathrm{m}:
t \approx \frac{\rho\cdot 0{,}02}{M\cdot 0{,}4018} = \frac{\rho}{M}\cdot 0{,}04978\\ \mathrm{s}.
Isto é uma expressão prática: para obter o tempo em segundos basta conhecer \rho e M.
Exemplo numérico ilustrativo (apenas exemplo — os valores de \rho e M dependem do sólido real):
  • Se \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3} e M=0{,}100\\ \mathrm{kg/mol} (isto é, 100\\ \mathrm{g/mol}), então
t \approx \frac{1000}{0{,}100}\times 0{,}04978 \approx 497{,}8\\ \mathrm{s}\approx 8{,}30\\ \mathrm{min}.
Mas reforço: o tempo real varia linearmente com \rho e inversamente com M; substitua os valores corretos do sólido para obter o tempo real.

Resposta

(a) Hipóteses:
  • sublimação controlada por difusão através de película estacionária de espessura \delta,
  • regime estacionário na película,
  • gás inerte e estagnado (sem convecção),
  • coeficiente de difusão D_{AB} constante,
  • concentração na superfície dada por p_{A,s}=1\\ \mathrm{atm} (logo c_{A,s}=p_{A,s}/(R T)), concentração no bulk c_{A,\infty}=0,
  • gás ideal.
(b) Taxa de sublimação (retângulo, face superior exposta):
N_A \approx 0{,}4018\\ \mathrm{mol/(m^2\cdot s)},
A_{\text{ret}} = 0{,}0256\\ \mathrm{m^2},
\dot n_{\text{ret}} \approx 0{,}01029\\ \mathrm{mol/s},
\dot m_{\text{ret}} \approx 0{,}01029\\ M\\ \mathrm{kg/s}\quad(\text{com }M\text{ em }\mathrm{kg/mol}).
(c) Taxa de sublimação (esfera, diâmetro 0{,}02\\ \mathrm{m}):
A_{\text{sph}}\approx 1{,}2566\times 10^{-3}\\ \mathrm{m^2},
\dot n_{\text{sph}}\approx 0{,}0005049\\ \mathrm{mol/s},
\dot m_{\text{sph}}\approx 0{,}0005049\\ M\\ \mathrm{kg/s}.
(d) Tempo para sublimar completamente o retângulo (expressão geral):
t=\frac{\rho z}{M N_A}\approx \frac{\rho}{M}\times 0{,}04978\\ \mathrm{s},
onde \rho é a densidade do sólido ( \mathrm{kg/m^3}), M a massa molar ( \mathrm{kg/mol}), e N_A\approx 0{,}4018\\ \mathrm{mol/(m^2\cdot s)}. (Exemplo: para \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3} e M=0{,}100\\ \mathrm{kg/mol} obtém-se t\approx 497{,}8\\ \mathrm{s}.)

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