\mathbf{1}^{\mathbf{a}} Questão (Valor: \mathbf{2 , 0} pontos): Determine o coeficiente de difusão de gás \mathrm{H}_{2} (bastante diluído) em \mathrm{N}_{2} através de uma partícula porosa (a 30^{\circ} \mathrm{C} e 2 atm ) que apresenta raio médio dos poros igual a:
b) A 5000 \AA. Neste caso a difusão de Knudsen é importante? Justifique;

Passo 1

O que o exercício pede e os dados fornecidos:
  • Pede para determinar o coeficiente de difusão do gás \mathrm{H}_2 (bastante diluído) em \mathrm{N}_2 através de uma partícula porosa, nas condições 30^\circ\mathrm{C} e 2\\ \mathrm{atm}, quando o raio médio dos poros vale \,5000\\ \text{\AA}.
  • Pergunta adicional: “A difusão de Knudsen é importante? Justifique.”
Dados numéricos (coloquei todos entre fórmulas):
T = 30^\circ\mathrm{C} = 303\\ \mathrm{K},\qquad P = 2\\ \mathrm{atm},
r_\text{poro} = 5000\\ \text{\AA} = 5{,}0\times 10^{-7}\\ \mathrm{m}.
Outras constantes/valores que usarei (explico na frente as escolhas):
M_{\mathrm{H}_2}=2{,}00\\ \mathrm{g\\ mol^{-1}},\qquad M_{\mathrm{N}_2}=28{,}02\\ \mathrm{g\\ mol^{-1}},
valores de volume de difusão para a correlação de Fuller:
V_{\mathrm{H}_2}=6{,}12,\qquad V_{\mathrm{N}_2}=18{,}5.

Passo 2

Cálculo do coeficiente de difusão molecular binária D_{AB} (difusão molecular de \mathrm{H}_2 em \mathrm{N}_2) usando a correlação de Fuller (fórmula prática muito usada em engenharia):
Apresentação da fórmula e o que cada termo significa:
D_{AB} = 0{,}00143\,\frac{T^{1{,}75}\sqrt{\dfrac{1}{M_A}+\dfrac{1}{M_B}}}{P\left(V_A^{1/3}+V_B^{1/3}\right)^2},
onde
  • D_{AB} está em \mathrm{cm^2\,s^{-1}},
  • T em \mathrm{K},
  • P em \mathrm{atm},
  • M_A,M_B em \mathrm{g\\ mol^{-1}},
  • V_A,V_B são volumes molares efetivos (Fuller) adimensionais.
Substituindo os valores passo a passo:
  1. Calcular T^{1{,}75}:
T^{1{,}75} = 303^{1{,}75} \approx 2{,}2004\times 10^{4}.
  1. Calcular \sqrt{\dfrac{1}{M_A}+\dfrac{1}{M_B}} com A=\mathrm{H}_2, B=\mathrm{N}_2:
\sqrt{\dfrac{1}{2{,}00}+\dfrac{1}{28{,}02}} = \sqrt{0{,}5+0{,}035714} \approx 0{,}7320.
  1. Calcular V_A^{1/3}+V_B^{1/3}:
V_{\mathrm{H}_2}^{1/3}\approx 6{,}12^{1/3}\approx 1{,}829,\qquad V_{\mathrm{N}_2}^{1/3}\approx 18{,}5^{1/3}\approx 2{,}644,
V_A^{1/3}+V_B^{1/3}\approx 1{,}829+2{,}644=4{,}473,\qquad (V_A^{1/3}+V_B^{1/3})^2\approx 19{,}999.
  1. Agora a correlação:
D_{AB} = 0{,}00143\frac{2{,}2004\times 10^{4}\times 0{,}7320}{2\times 19{,}999} \approx 0{,}5756\\ \mathrm{cm^2\,s^{-1}}.
Converter para \mathrm{m^2\,s^{-1}} (lembrando 1\\ \mathrm{cm^2\,s^{-1}}=10^{-4}\\ \mathrm{m^2\,s^{-1}}):
D_{AB}\approx 0{,}5756\times 10^{-4}\\ \mathrm{m^2\,s^{-1}} = 5{,}756\times 10^{-5}\\ \mathrm{m^2\,s^{-1}}.
Comentário didático rápido: esse D_{AB} é a difusão molecular (colisões molécula–molécula) e normalmente domina quando o meio poroso tem poros grandes em relação ao caminho livre médio das moléculas.

Passo 3

Cálculo da difusão de Knudsen D_K (colisões molécula–parede do poro). Fórmula usada (para poros cilíndricos e molécula i):
D_{K,i} = \frac{2}{3}\,r_\text{poro}\,\sqrt{\frac{8RT}{\pi M_i}},
onde
  • r_\text{poro} em \mathrm{m},
  • R=8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}},
  • T em \mathrm{K},
  • M_i em \mathrm{kg\,mol^{-1}} (atenção às unidades).
Explicação rápida: \sqrt{\dfrac{8RT}{\pi M_i}} é da ordem da velocidade média térmica das moléculas; multiplicando por uma dimensão característica do poro dá um coeficiente difusivo característico das colisões com as paredes.
Substituindo (converter massa molar de \mathrm{H}_2 para \mathrm{kg\,mol^{-1}}: M_{\mathrm{H}_2}=2{,}00\times 10^{-3}\\ \mathrm{kg\,mol^{-1}}):
Calcule o termo sob a raiz:
\frac{8RT}{\pi M}=\frac{8\times 8{,}314\times 303}{\pi\times 0{,}002}\approx 3{,}2077\times 10^{6}\\ (\mathrm{m^2\,s^{-2}}),
\sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}\approx 1{,}7910\times 10^{3}\\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
Agora
D_K = \frac{2}{3}\times 5{,}0\times 10^{-7}\times 1{,}7910\times 10^{3} \approx 5{,}970\times 10^{-4}\\ \mathrm{m^2\,s^{-1}}.
Converter para \mathrm{cm^2\,s^{-1}}:
D_K\approx 5{,}970\times 10^{-4}\times 10^{4}=5{,}97\\ \mathrm{cm^2\,s^{-1}}.
Interpretação: D_K é muito maior que D_{AB} (ordem de grandeza maior), o que já sugere que as resistências da difusão molecular serão as dominantes (explico e justifico na comparação abaixo).

Passo 4

Combinação das duas resistências (regime intermediário): usar a fórmula de Bosanquet (equivalente a somar resistências):
\frac{1}{D_\text{comb}}=\frac{1}{D_{AB}}+\frac{1}{D_K},
onde D_\text{comb} é o coeficiente efetivo de difusão no poro quando se consideram ambos os mecanismos em série.
Calculemos numericamente (tudo em \mathrm{m^2\,s^{-1}}):
D_{AB}=5{,}756\times 10^{-5}\\ \mathrm{m^2\,s^{-1}},\qquad D_K=5{,}970\times 10^{-4}\\ \mathrm{m^2\,s^{-1}}.
\frac{1}{D_\text{comb}}=\frac{1}{5{,}756\times 10^{-5}}+\frac{1}{5{,}970\times 10^{-4}} \approx 1{,}7373\times 10^{4}+1{,}674\times 10^{3}=1{,}9047\times 10^{4},
D_\text{comb}=\frac{1}{1{,}9047\times 10^{4}}\approx 5{,}252\times 10^{-5}\\ \mathrm{m^2\,s^{-1}}.
Converter para \mathrm{cm^2\,s^{-1}}:
D_\text{comb}\approx 0{,}5252\\ \mathrm{cm^2\,s^{-1}}.
Observação prática: em meios porosos reais muitas vezes se introduz um fator \varepsilon/\tau (porosidade sobre tortuosidade) tal que
D_\text{efetivo}=\frac{\varepsilon}{\tau}\,D_\text{comb}.
Como o enunciado não fornece \varepsilon nem \tau, aqui considerei \varepsilon/\tau=1 (ou seja, valor intrínseco do poro). Se a questão pedisse o valor efetivo macroscópico, teríamos que multiplicar por \varepsilon/\tau.

Passo 5

Justificação física: a difusão de Knudsen é importante quando o comprimento livre médio das moléculas \lambda é da ordem ou maior que a dimensão do poro (diâmetro do poro). Vamos estimar \lambda.
Fórmula aproximada para o comprimento livre médio:
\lambda = \frac{k_B T}{\sqrt{2}\,\pi\,d^2\,P},
onde
  • k_B=1{,}381\times 10^{-23}\\ \mathrm{J\,K^{-1}},
  • d é o diâmetro efetivo molecular (usarei d\approx 3{,}65\times 10^{-10}\\ \mathrm{m}, valor típico para N _2/H _2),
  • P em \mathrm{Pa} ( 2\\ \mathrm{atm}=2{,}026\times 10^{5}\\ \mathrm{Pa}).
Substituindo:
\lambda \approx \frac{1{,}381\times 10^{-23}\times 303}{\sqrt{2}\,\pi\,(3{,}65\times 10^{-10})^2\times 2{,}026\times 10^{5}} \approx 3{,}5\times 10^{-8}\\ \mathrm{m} = 35\\ \mathrm{nm}.
Comparações importantes:
r_\text{poro} = 500\\ \mathrm{nm} \quad\text{(pois }5000\\ \text{\AA}=500\\ \mathrm{nm}\text{)},
\lambda \approx 35\\ \mathrm{nm} \ll r_\text{poro}=500\\ \mathrm{nm}.
Conclusão física: como o comprimento livre médio \lambda é muito menor que o raio do poro, as colisões molécula–molécula ocorrem com muito mais frequência que colisões molécula–parede; portanto a difusão molecular (colisões gás–gás) domina. Isso também se reflete numericamente em D_K sendo muito maior que D_{AB}; sendo D_K grande, a resistência associada a Knudsen é pequena comparada à resistência molecular, e o coeficiente efetivo D_\text{comb} fica muito próximo de D_{AB}.

Resposta

D_\text{poro}\approx 5{,}25\times 10^{-5}\\ \mathrm{m^{2}\,s^{-1}} (valor combinado, supondo \varepsilon/\tau=1; em \mathrm{cm^{2}\,s^{-1}}: 0{,}525\\ \mathrm{cm^{2}\,s^{-1}}).\n
Não — a difusão de Knudsen não é importante: o comprimento livre médio \lambda\approx 35\\ \mathrm{nm} é muito menor que o raio do poro r_\text{poro}=500\\ \mathrm{nm}, e numericamente D_K\gg D_{AB}, de modo que a difusão molecular domina.

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