Questão (Valor:
pontos): Determine o coeficiente de difusão de gás
(bastante diluído) em
através de uma partícula porosa (a
e 2 atm ) que apresenta raio médio dos poros igual a:
a) A
. Neste caso a difusão de Knudsen é importante? Justifique;
a) A
Passo 1
O enunciado pede: determinar o coeficiente de difusão do gás
(muito diluído) em
através de uma partícula porosa nas condições
e
, quando o raio médio dos poros é
. Além disso, para este caso específico, responder se a difusão de Knudsen é importante e justificar.
Dados fornecidos (vou escrever em símbolos):
gases:
(espécie
, muito diluída) em
(espécie
).
Objetivo numérico: calcular o coeficiente de difusão efetivo no poro (vou obter
molecular,
de Knudsen e a combinação efetiva
), e decidir se a difusão de Knudsen domina, com justificativa baseada em comparação de grandezas físicas.
Passo 2
O plano (só explicando o que cada passo fará, sem resolver ainda): primeiro vou calcular a difusão molecular binária
(difusão de
em
em gás denso — depende de
e
). Depois calculo a difusão de Knudsen
(movimento controlado por colisões com as paredes do poro). Por fim combino as duas contribuições para obter a difusão efetiva no poro, usando a fórmula de Bosanquet (harmônica). Também calculo o caminho livre médio
para checar se
(critério simples para saber se Knudsen é importante).
Passo 3
Fórmula e significado para a difusão molecular binária
:
Vou usar a expressão empírica baseada em Chapman–Enskog (forma prática que dá
em
):
Explicando cada termo:
-
é a temperatura em . -
é a pressão em . -
é o diâmetro efetivo de colisão (em ); tomo . -
é a integral de colisão de difusão (adimensional), função da temperatura reduzida; tenho que estimá-la por tabela (para gases leves e na faixa usual fica aproximadamente entre e ). -
e são as massas molares em .
A constanteé a forma prática que ajusta unidades para obter em .
Para nosso par:
Valores típicos de diâmetros (tabelados):
. Então
A energia de interação (para estimar
) dá um
típico de aproximadamente
. A temperatura reduzida
. Para
a integral
vale aproximadamente
(tabela padrão de Chapman–Enskog). Vou usar
.
Agora calculo passo a passo:
Colocando tudo na fórmula (lembre:
,
,
):
Calculo dos termos numéricos:
Logo
Interpretação: este é o coeficiente de difusão molecular binária de
em
nas condições dadas (pressão
). Observação:
escala inversamente com a pressão; se eu tivesse o valor a
seria aproximadamente o dobro.
Passo 4
Fórmula e significado para a difusão de Knudsen
:
Quando as colisões com as paredes do poro dominam (colisões molécula-parede muito mais frequentes que molécula-molécula), o coeficiente de difusão de Knudsen para um poro cilíndrico é dado por
onde
é o raio do poro (m) e
é a velocidade média termo-mecânica das moléculas:
com
,
em
, e
a massa molar em
. Esta expressão dá
em
.
Para
:
. Calculo
:
Faço os cálculos:
Agora
, então
Converto para
(
):
Passo 5
Combinação das contribuições molecular e Knudsen (fórmula de Bosanquet):
Quando ambas as resistências à difusão (molecular e Knudsen) atuam em série, a condutância efetiva segue a relação harmônica:
Isso significa que a menor das duas dominirá o valor final (a menor resistência dá o menor
e, por isto, controla).
Usando os valores calculados:
Logo
Portanto
Em unidades SI:
.
Observação prática: como
é bem menor que
, o valor efetivo
fica próximo de
(a difusão é controlada por Knudsen).
Passo 6
Cálculo do caminho livre médio
para justificar a dominância de Knudsen:
Fórmula do caminho livre médio (para estimativa):
onde
,
é o diâmetro de colisão efetivo (em m) e
em Pa. Tomando
e
:
Cálculo:
Comparação direta: o raio do poro
é muito menor que
. Critério físico: se o diâmetro do poro (aqui
) é menor ou da mesma ordem que o caminho livre médio, as colisões molécula-parede são mais frequentes que molécula-molécula e a difusão de Knudsen domina. Aqui claramente
, então estamos no regime de Knudsen.
Passo 7
Conclusão didática e comparação numérica final:
- Difusão molecular (binária) estimada:
. - Difusão de Knudsen estimada:
. - Combinação harmônica (difusão efetiva no poro):
(ou ).
Como
é bem menor que
e o caminho livre médio é muito maior que o raio do poro (
), concluímos que a difusão de Knudsen é importante e, de fato, controla a difusão através do poro neste caso.