\mathbf{1}^{\mathbf{a}} Questão (Valor: \mathbf{2 , 0} pontos): Determine o coeficiente de difusão de gás \mathrm{H}_{2} (bastante diluído) em \mathrm{N}_{2} através de uma partícula porosa (a 30^{\circ} \mathrm{C} e 2 atm ) que apresenta raio médio dos poros igual a:
a) A 50 \AA ̊. Neste caso a difusão de Knudsen é importante? Justifique;

Passo 1

O enunciado pede: determinar o coeficiente de difusão do gás \mathrm{H}_2 (muito diluído) em \mathrm{N}_2 através de uma partícula porosa nas condições \;30^\circ\mathrm{C} e \;2\\ \mathrm{atm}, quando o raio médio dos poros é \;50\\ \text{\AA}. Além disso, para este caso específico, responder se a difusão de Knudsen é importante e justificar.
Dados fornecidos (vou escrever em símbolos):
T = 30^\circ\mathrm{C} = 303\\ \mathrm{K},\qquad p = 2\\ \mathrm{atm},
r_p = 50\\ \text{\AA} = 5{,}0\times 10^{-9}\\ \mathrm{m},
gases: \mathrm{H}_2 (espécie A, muito diluída) em \mathrm{N}_2 (espécie B).
Objetivo numérico: calcular o coeficiente de difusão efetivo no poro (vou obter D_{AB} molecular, D_K de Knudsen e a combinação efetiva D_{\text{poro}}), e decidir se a difusão de Knudsen domina, com justificativa baseada em comparação de grandezas físicas.

Passo 2

O plano (só explicando o que cada passo fará, sem resolver ainda): primeiro vou calcular a difusão molecular binária D_{AB} (difusão de \mathrm{H}_2 em \mathrm{N}_2 em gás denso — depende de T e p). Depois calculo a difusão de Knudsen D_K (movimento controlado por colisões com as paredes do poro). Por fim combino as duas contribuições para obter a difusão efetiva no poro, usando a fórmula de Bosanquet (harmônica). Também calculo o caminho livre médio \lambda para checar se r_p \ll \lambda (critério simples para saber se Knudsen é importante).

Passo 3

Fórmula e significado para a difusão molecular binária \;D_{AB}:
Vou usar a expressão empírica baseada em Chapman–Enskog (forma prática que dá D_{AB} em \mathrm{cm^2/s}):
D_{AB} = \frac{0{,}001858\, T^{3/2}}{P\\ \sigma_{AB}^2\\ \Omega_D}\,\sqrt{\frac{1}{M_A}+\frac{1}{M_B}}.
Explicando cada termo:
  • T é a temperatura em \mathrm{K}.
  • P é a pressão em \mathrm{atm}.
  • \sigma_{AB} é o diâmetro efetivo de colisão (em \text{\AA}); tomo \sigma_{AB}=(\sigma_A+\sigma_B)/2.
  • \Omega_D é a integral de colisão de difusão (adimensional), função da temperatura reduzida; tenho que estimá-la por tabela (para gases leves e T^* na faixa usual fica aproximadamente entre 1{,}0 e 1{,}2).
  • M_A e M_B são as massas molares em \mathrm{g/mol}.
    A constante 0{,}001858 é a forma prática que ajusta unidades para obter D_{AB} em \mathrm{cm^2/s}.
Para nosso par:
M_A = 2\\ \mathrm{g/mol}\\ (\mathrm{H}_2),\qquad M_B = 28\\ \mathrm{g/mol}\\ (\mathrm{N}_2).
Valores típicos de diâmetros (tabelados): \sigma_{\mathrm{H}_2}\approx 2{,}9\\ \text{\AA},\quad \sigma_{\mathrm{N}_2}\approx 3{,}8\\ \text{\AA}. Então
\sigma_{AB} = \frac{2{,}9+3{,}8}{2}=3{,}35\\ \text{\AA}.
A energia de interação (para estimar \Omega_D) dá um \varepsilon_{AB}/k típico de aproximadamente \sqrt{59{,}7\times 71{,}4}\approx 65{,}3\\ \mathrm{K}. A temperatura reduzida T^* = T/(\varepsilon_{AB}/k)\approx 303/65{,}3\approx 4{,}64. Para T^*\approx 4{,}6 a integral \Omega_D vale aproximadamente 1{,}03 (tabela padrão de Chapman–Enskog). Vou usar \Omega_D=1{,}03.
Agora calculo passo a passo:
\sqrt{\frac{1}{M_A}+\frac{1}{M_B}}=\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{28}}=\sqrt{0{,}5+0{,}035714}= \sqrt{0{,}535714}=0{,}7319.
T^{3/2}=303^{3/2}=303\sqrt{303}\approx 303\times 17{,}41\approx 5\,277.
Colocando tudo na fórmula (lembre: P=2\\ \mathrm{atm}, \sigma_{AB}=3{,}35\\ \text{\AA}, \Omega_D=1{,}03):
D_{AB} = \frac{0{,}001858\times 5\,277}{2 \times (3{,}35)^2 \times 1{,}03}\times 0{,}7319.
Calculo dos termos numéricos:
0{,}001858\times 5277 \approx 9{,}8046,
(3{,}35)^2 = 11{,}2225,\qquad 2\times 11{,}2225\times 1{,}03 \approx 23{,}112.
Logo
D_{AB} \approx \frac{9{,}8046}{23{,}112}\times 0{,}7319 \approx 0{,}310\\ \mathrm{cm^2/s}.
Interpretação: este é o coeficiente de difusão molecular binária de \mathrm{H}_2 em \mathrm{N}_2 nas condições dadas (pressão 2\\ \mathrm{atm}). Observação: D_{AB} escala inversamente com a pressão; se eu tivesse o valor a 1\\ \mathrm{atm} seria aproximadamente o dobro.

Passo 4

Fórmula e significado para a difusão de Knudsen D_K:
Quando as colisões com as paredes do poro dominam (colisões molécula-parede muito mais frequentes que molécula-molécula), o coeficiente de difusão de Knudsen para um poro cilíndrico é dado por
D_K = \frac{2}{3}\, r_p\, \bar{v},
onde \;r_p é o raio do poro (m) e \bar{v} é a velocidade média termo-mecânica das moléculas:
\bar{v} = \sqrt{\frac{8 R T}{\pi M}},
com R=8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}, T em \mathrm{K}, e M a massa molar em \mathrm{kg/mol}. Esta expressão dá D_K em \mathrm{m^2/s}.
Para \mathrm{H}_2: M=2{,}0\\ \mathrm{g/mol}=0{,}002\\ \mathrm{kg/mol}. Calculo \bar{v}:
\bar{v} = \sqrt{\frac{8\times 8{,}314\times 303}{\pi \times 0{,}002}}.
Faço os cálculos:
8 R T = 8\times 8{,}314\times 303 \approx 20\,153{,}1\\ \mathrm{J/mol},
\frac{8RT}{\pi M} \approx \frac{20\,153{,}1}{3{,}1416\times 0{,}002} \approx \frac{20\,153{,}1}{0{,}0062832}\approx 3{,}2075\times 10^{6},
\bar{v} \approx \sqrt{3{,}2075\times 10^{6}}\approx 1{,}791\times 10^{3}\\ \mathrm{m/s}.
Agora r_p = 5{,}0\times 10^{-9}\\ \mathrm{m}, então
D_K = \frac{2}{3}\times 5{,}0\times 10^{-9}\times 1{,}791\times 10^{3} \approx 5{,}97\times 10^{-6}\\ \mathrm{m^2/s}.
Converto para \mathrm{cm^2/s} ( 1\\ \mathrm{m^2/s}=10^{4}\\ \mathrm{cm^2/s}):
D_K \approx 5{,}97\times 10^{-6}\times 10^{4}=5{,}97\times 10^{-2}\\ \mathrm{cm^2/s}\approx 0{,}060\\ \mathrm{cm^2/s}.

Passo 5

Combinação das contribuições molecular e Knudsen (fórmula de Bosanquet):
Quando ambas as resistências à difusão (molecular e Knudsen) atuam em série, a condutância efetiva segue a relação harmônica:
\frac{1}{D_{\text{poro}}}=\frac{1}{D_{AB}}+\frac{1}{D_K}.
Isso significa que a menor das duas dominirá o valor final (a menor resistência dá o menor D e, por isto, controla).
Usando os valores calculados:
D_{AB}\approx 0{,}310\\ \mathrm{cm^2/s},\qquad D_K\approx 0{,}060\\ \mathrm{cm^2/s}.
Logo
\frac{1}{D_{\text{poro}}}=\frac{1}{0{,}310}+\frac{1}{0{,}060} \approx 3{,}226 + 16{,}667 = 19{,}893.
Portanto
D_{\text{poro}} \approx \frac{1}{19{,}893}\\ \mathrm{cm^2/s}\approx 0{,}0503\\ \mathrm{cm^2/s}.
Em unidades SI: D_{\text{poro}}\approx 5{,}03\times 10^{-6}\\ \mathrm{m^2/s}.
Observação prática: como D_K é bem menor que D_{AB}, o valor efetivo D_{\text{poro}} fica próximo de D_K (a difusão é controlada por Knudsen).

Passo 6

Cálculo do caminho livre médio \lambda para justificar a dominância de Knudsen:
Fórmula do caminho livre médio (para estimativa):
\lambda = \frac{k_B T}{\sqrt{2}\,\pi\, d_{AB}^2\, p},
onde k_B=1{,}381\times 10^{-23}\\ \mathrm{J/K}, d_{AB} é o diâmetro de colisão efetivo (em m) e p em Pa. Tomando d_{AB}\approx 3{,}35\\ \text{\AA}=3{,}35\times 10^{-10}\\ \mathrm{m} e p=2\\ \mathrm{atm}=2\times 1{,}01325\times 10^{5}\\ \mathrm{Pa}=2{,}0265\times 10^{5}\\ \mathrm{Pa}:
Cálculo:
k_B T = 1{,}381\times 10^{-23}\times 303 \approx 4{,}186\times 10^{-21}\\ \mathrm{J},
\sqrt{2}\,\pi\, d_{AB}^2 \approx 1{,}4142\times 3{,}1416\times (3{,}35\times 10^{-10})^2 \approx 4{,}443\times 1{,}12225\times 10^{-19}\approx 4{,}836\times 10^{-19},
\sqrt{2}\pi d_{AB}^2 p \approx 4{,}836\times 10^{-19}\times 2{,}0265\times 10^{5}\approx 9{,}804\times 10^{-14},
\lambda = \frac{4{,}186\times 10^{-21}}{9{,}804\times 10^{-14}}\approx 4{,}27\times 10^{-8}\\ \mathrm{m}=42{,}7\\ \mathrm{nm}=427\\ \text{\AA}.
Comparação direta: o raio do poro r_p=50\\ \text{\AA} é muito menor que \lambda\approx 427\\ \text{\AA}. Critério físico: se o diâmetro do poro (aqui 2r_p) é menor ou da mesma ordem que o caminho livre médio, as colisões molécula-parede são mais frequentes que molécula-molécula e a difusão de Knudsen domina. Aqui claramente r_p\ll \lambda, então estamos no regime de Knudsen.

Passo 7

Conclusão didática e comparação numérica final:
  • Difusão molecular (binária) estimada: \;D_{AB}\approx 0{,}310\\ \mathrm{cm^2/s}.
  • Difusão de Knudsen estimada: \;D_K\approx 0{,}060\\ \mathrm{cm^2/s}.
  • Combinação harmônica (difusão efetiva no poro): \;D_{\text{poro}}\approx 0{,}0503\\ \mathrm{cm^2/s} (ou \;5{,}03\times 10^{-6}\\ \mathrm{m^2/s}).
Como D_K é bem menor que D_{AB} e o caminho livre médio é muito maior que o raio do poro ( \lambda\gg r_p), concluímos que a difusão de Knudsen é importante e, de fato, controla a difusão através do poro neste caso.

Resposta

D_{\text{poro}}\approx 0{,}0503\\ \mathrm{cm^2/s} (equivalente a 5{,}03\times 10^{-6}\\ \mathrm{m^2/s}).\nSim — a difusão de Knudsen é importante e domina, pois D_K\approx 0{,}060\\ \mathrm{cm^2/s}\ll D_{AB}\approx 0{,}310\\ \mathrm{cm^2/s} e o caminho livre médio \lambda\approx 427\\ \text{\AA} é muito maior que o raio do poro r_p=50\\ \text{\AA}.

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