\mathbf{9}^{\mathbf{a}} Questão (valor \mathbf{2} pontos) Uma população estável de 50.000 aves vivem em 3 ilhas. Cada ano, 25 \% da população da ilha A migra para a ilha B, 10 \% da população da ilha B migra para ilha C e 5 \% da população da ilha C migra para ilha A. Denotando por A_{n}, B_{n} e C_{n}, respectivamente, os números de aves nas ilhas A, B e C, no n-ésimo ano antes da ocorrência da migração e admitindo a convergência das sequências \left(A_{n}\right),\left(B_{n}\right) e \left(C_{n}\right), aproxime o número de pássaros em cada ilha após muitos anos.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo de forma clara):
População total constante: 50{,}000 aves.
Migrações anuais (porcentagens, tomadas antes da migração do ano):
25\% da população da ilha A vai para B a cada ano.
10\% da população da ilha B vai para C a cada ano.
5\% da população da ilha C vai para A a cada ano.
Denota-se por A_n,B_n,C_n os números de aves nas ilhas A,B,C, respectivamente, no n-ésimo ano antes da migração.
O enunciado admite que as sequências \left(A_n\right),\left(B_n\right),\left(C_n\right) convergem quando n\to\infty.
O que o problema pede: aproximar o número de aves em cada ilha após muitos anos (isto é, encontrar os valores limites A,B,C quando n\to\infty).
Passo 2
Montar as relações de recorrência ano a ano (explicando passo a passo por que cada coeficiente aparece).
Em cada ano, da ilha A sai 25\% e fica 75\%. Portanto a contribuição de A_n para A_{n+1} é 0{,}75A_n. Além disso a ilha A recebe 5\% da ilha C, ou seja 0{,}05C_n. A ilha B não envia aves para A. Logo:
A_{n+1}=0{,}75\,A_n+0{,}05\,C_n.
Para B_{n+1}: B retém 90\% (pois 10\% sai para C) e recebe 25\% de A. Logo:
B_{n+1}=0{,}90\,B_n+0{,}25\,A_n.
Para C_{n+1}: C retém 95\% e recebe 10\% de B. Logo:
C_{n+1}=0{,}95\,C_n+0{,}10\,B_n.
Verificação rápida de conservação total (importante!): somando as três equações,
Explicação do significado: cada linha de P dá como o próximo valor de uma ilha depende das populações atuais. Por exemplo, a primeira linha mostra A_{n+1}=0{,}75A_n+0{,}05C_n.]
Passo 4
Buscar o estado estacionário (o que significa “após muitos anos”): se \left(A_n\right),\left(B_n\right),\left(C_n\right) convergem, seus limites satisfazem
ou seja, os limites são uma solução não nula do sistema linear (P-I)\mathbf{x}=\mathbf{0}, com a condição adicional \;A+B+C=50{,}000. Vamos escrever as equações escalares obtidas de \mathbf{x}=P\mathbf{x}:
Da primeira linha:
A=0{,}75A+0{,}05C.
Da segunda linha:
B=0{,}25A+0{,}90B.
Da terceira linha:
C=0{,}10B+0{,}95C.]
Passo 5
Resolver as equações uma a uma (método direto, reduzindo incógnitas passo a passo).
Manipulando a primeira equação:
Como estamos contando aves (inteiros), aproximamos para inteiros. Arredondando de forma natural (e checando que a soma volte a 50{,}000):
A\approx 5{,}882 aves,
B\approx 14{,}706 aves,
C\approx 29{,}412 aves.
A soma 5{,}882+14{,}706+29{,}412=50{,}000, então a aproximação inteira está consistente.
Passo 7
Checagem final rápida (verificação da condição estacionária com os valores obtidos em proporção): as proporções relativas são
A:B:C = 1 : 2{,}5 : 5 = 2 : 5 : 10,
ou seja, aproximadamente 11{,}7647\%, 29{,}4118\% e 58{,}8235\% da população total, respectivamente. Isso é coerente com as equações de trânsito que empurram mais aves para C ao longo do tempo.
Parabéns — apesar do desespero inicial, o procedimento é sempre o mesmo: montar as recorrências, impor a condição de equilíbrio \mathbf{x}=P\mathbf{x} e resolver com a condição de conservação da população.