\mathbf{9}^{\mathbf{a}} Questão (valor \mathbf{2} pontos) Uma população estável de 50.000 aves vivem em 3 ilhas. Cada ano, 25 \% da população da ilha A migra para a ilha B, 10 \% da população da ilha B migra para ilha C e 5 \% da população da ilha C migra para ilha A. Denotando por A_{n}, B_{n} e C_{n}, respectivamente, os números de aves nas ilhas A, B e C, no n-ésimo ano antes da ocorrência da migração e admitindo a convergência das sequências \left(A_{n}\right),\left(B_{n}\right) e \left(C_{n}\right), aproxime o número de pássaros em cada ilha após muitos anos.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo de forma clara):
  • População total constante: 50{,}000 aves.
  • Migrações anuais (porcentagens, tomadas antes da migração do ano):
    • 25\% da população da ilha A vai para B a cada ano.
    • 10\% da população da ilha B vai para C a cada ano.
    • 5\% da população da ilha C vai para A a cada ano.
  • Denota-se por A_n,B_n,C_n os números de aves nas ilhas A,B,C, respectivamente, no n-ésimo ano antes da migração.
  • O enunciado admite que as sequências \left(A_n\right),\left(B_n\right),\left(C_n\right) convergem quando n\to\infty.
O que o problema pede: aproximar o número de aves em cada ilha após muitos anos (isto é, encontrar os valores limites A,B,C quando n\to\infty).

Passo 2

Montar as relações de recorrência ano a ano (explicando passo a passo por que cada coeficiente aparece).
  • Em cada ano, da ilha A sai 25\% e fica 75\%. Portanto a contribuição de A_n para A_{n+1} é 0{,}75A_n. Além disso a ilha A recebe 5\% da ilha C, ou seja 0{,}05C_n. A ilha B não envia aves para A. Logo:
A_{n+1}=0{,}75\,A_n+0{,}05\,C_n.
  • Para B_{n+1}: B retém 90\% (pois 10\% sai para C) e recebe 25\% de A. Logo:
B_{n+1}=0{,}90\,B_n+0{,}25\,A_n.
  • Para C_{n+1}: C retém 95\% e recebe 10\% de B. Logo:
C_{n+1}=0{,}95\,C_n+0{,}10\,B_n.
Verificação rápida de conservação total (importante!): somando as três equações,
A_{n+1}+B_{n+1}+C_{n+1}= (0{,}75+0{,}25)A_n+(0{,}90+0{,}10)B_n+(0{,}95+0{,}05)C_n = A_n+B_n+C_n,
portanto a soma permanece 50{,}000 todo ano, como esperado.

Passo 3

Representação matricial (ajuda a ver o padrão e justificar a busca do estado estacionário). Defina o vetor
\mathbf{x}_n=\begin{pmatrix}A_n\\[4pt]B_n\\[4pt]C_n\end{pmatrix}.
As recorrências escritas têm a forma \mathbf{x}_{n+1}=P\mathbf{x}_n, com a matriz de transição
P=\begin{pmatrix} 0{,}75 & 0 & 0{,}05\\[4pt] 0{,}25 & 0{,}90 & 0\\[4pt] 0 & 0{,}10 & 0{,}95 \end{pmatrix}.
Explicação do significado: cada linha de P dá como o próximo valor de uma ilha depende das populações atuais. Por exemplo, a primeira linha mostra A_{n+1}=0{,}75A_n+0{,}05C_n.]

Passo 4

Buscar o estado estacionário (o que significa “após muitos anos”): se \left(A_n\right),\left(B_n\right),\left(C_n\right) convergem, seus limites satisfazem
\begin{pmatrix}A\\[4pt]B\\[4pt]C\end{pmatrix} = P\begin{pmatrix}A\\[4pt]B\\[4pt]C\end{pmatrix},
ou seja, os limites são uma solução não nula do sistema linear (P-I)\mathbf{x}=\mathbf{0}, com a condição adicional \;A+B+C=50{,}000. Vamos escrever as equações escalares obtidas de \mathbf{x}=P\mathbf{x}:
  • Da primeira linha:
A=0{,}75A+0{,}05C.
  • Da segunda linha:
B=0{,}25A+0{,}90B.
  • Da terceira linha:
C=0{,}10B+0{,}95C.]

Passo 5

Resolver as equações uma a uma (método direto, reduzindo incógnitas passo a passo).
Manipulando a primeira equação:
A-0{,}75A-0{,}05C=0 \quad\Rightarrow\quad 0{,}25A-0{,}05C=0.
Dividindo por 0{,}05:
5A - C = 0 \quad\Rightarrow\quad C=5A.
Agora a segunda equação:
B-0{,}90B-0{,}25A=0 \quad\Rightarrow\quad 0{,}10B-0{,}25A=0.
Dividindo por 0{,}10:
B - 2{,}5A = 0 \quad\Rightarrow\quad B=2{,}5A.
A terceira equação serve como verificação/consistência:
C-0{,}95C-0{,}10B=0 \quad\Rightarrow\quad 0{,}05C-0{,}10B=0.
Dividindo por 0{,}05:
C - 2B = 0 \quad\Rightarrow\quad C=2B.
Substituindo B=2{,}5A em C=2B C=2\cdot 2{,}5A=5A, que coincide com C=5A obtido antes — ótima consistência.

Passo 6

Determinar os valores numéricos usando a condição da soma total. Substituindo B e C em função de A na soma:
A + B + C = A + 2{,}5A + 5A = 8{,}5A = 50{,}000.
Logo
A=\frac{50{,}000}{8{,}5}=\frac{50{,}000\cdot 2}{17}=\frac{100{,}000}{17}\approx 5882{,}352941\ldots
Agora
B=2{,}5A=\frac{5}{2}\cdot\frac{100{,}000}{17}=\frac{250{,}000}{17}\approx 14{,}705{,}88235\ldots
C=5A=5\cdot\frac{100{,}000}{17}=\frac{500{,}000}{17}\approx 29{,}411{,}7647\ldots
Como estamos contando aves (inteiros), aproximamos para inteiros. Arredondando de forma natural (e checando que a soma volte a 50{,}000):
  • A\approx 5{,}882 aves,
  • B\approx 14{,}706 aves,
  • C\approx 29{,}412 aves.
    A soma 5{,}882+14{,}706+29{,}412=50{,}000, então a aproximação inteira está consistente.

Passo 7

Checagem final rápida (verificação da condição estacionária com os valores obtidos em proporção): as proporções relativas são
A:B:C = 1 : 2{,}5 : 5 = 2 : 5 : 10,
ou seja, aproximadamente 11{,}7647\%, 29{,}4118\% e 58{,}8235\% da população total, respectivamente. Isso é coerente com as equações de trânsito que empurram mais aves para C ao longo do tempo.
Parabéns — apesar do desespero inicial, o procedimento é sempre o mesmo: montar as recorrências, impor a condição de equilíbrio \mathbf{x}=P\mathbf{x} e resolver com a condição de conservação da população.

Resposta

A\approx 5{,}882 aves
B\approx 14{,}706 aves
C\approx 29{,}412 aves

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