\mathbf{8}^{\mathbf{a}} Questão (valor \mathbf{1 , 0} ponto) Usando as propriedades de derivadas, em cada item determine y^{\prime}=\frac{d y}{d x}, faça simplificações, sempre que possível:
y=\frac{1}{5}\left(2 x^{3}-\cos 3 x\right)^{5}-\frac{2}{x^{4}}+\sqrt{4 \pi}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada y'=\dfrac{d y}{d x} da função
y=\frac{1}{5}\left(2 x^{3}-\cos 3 x\right)^{5}-\frac{2}{x^{4}}+\sqrt{4 \pi}.
Informações dadas e coisas úteis que já vemos no enunciado:
  • A função é soma de três termos: \dfrac{1}{5}\big(2 x^{3}-\cos 3 x\big)^{5}, -\dfrac{2}{x^{4}} e a constante \sqrt{4\pi}.
  • Precisamos aplicar regras de derivação (regra da soma, constante multiplicativa, regra da potência junto com a regra da cadeia, derivada de funções trigonométricas e de potências com expoente negativo).
  • Não há mais informações externas necessárias.

Passo 2

Vou recordar as regras de derivada que vou usar (com explicação simples e o que cada símbolo significa):
  • Regra da soma: a derivada da soma é a soma das derivadas. Se f(x)=g(x)+h(x) então f'(x)=g'(x)+h'(x).
  • Constante multiplicativa: se f(x)=c\cdot g(x) com c constante, então f'(x)=c\cdot g'(x).
  • Regra da potência + cadeia (para composições): se f(x)=\big(u(x)\big)^{n} com u função de x e n constante, então
f'(x)=n\big(u(x)\big)^{n-1}\,u'(x),
onde u'(x) é a derivada da função interna u(x).
  • Derivada da função coseno composta: se u(x)=\cos(kx) com k constante, então
\frac{d}{dx}\cos(kx)=-k\sin(kx).
  • Regra da potência para x^{m} (válida para qualquer real m): \dfrac{d}{dx}x^{m}=m\,x^{m-1}. Assim, para potências negativas, por exemplo x^{-4}, vale a mesma fórmula.

Passo 3

Derivada do primeiro termo \dfrac{1}{5}\big(2 x^{3}-\cos 3 x\big)^{5}.
Defino a função interna
u(x)=2x^{3}-\cos 3x.
Pela regra da potência + cadeia,
\frac{d}{dx}\big(u(x)^{5}\big)=5u(x)^{4}\,u'(x).
Como há fator \dfrac{1}{5} multiplicando, aplicando a constante multiplicativa:
\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{5}u(x)^{5}\right]=\frac{1}{5}\cdot 5u(x)^{4}\,u'(x)=u(x)^{4}\,u'(x).
Agora calculo u'(x). Derivando termo a termo:
  • \dfrac{d}{dx}(2x^{3})=2\cdot 3x^{2}=6x^{2}.
  • \dfrac{d}{dx}\big(-\cos 3x\big)=-\dfrac{d}{dx}\big(\cos 3x\big)=-\big(-3\sin 3x\big)=3\sin 3x, pois \dfrac{d}{dx}\cos 3x=-3\sin 3x.
    Portanto
u'(x)=6x^{2}+3\sin 3x.
Juntando,
\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{5}\big(2x^{3}-\cos 3x\big)^{5}\right]=\big(2x^{3}-\cos 3x\big)^{4}\big(6x^{2}+3\sin 3x\big).

Passo 4

Derivada do segundo termo -\dfrac{2}{x^{4}}.
Reescrevo -\dfrac{2}{x^{4}} como -2x^{-4}. Usando a regra da potência,
\frac{d}{dx}\big(-2x^{-4}\big)=-2\cdot(-4)x^{-5}=8x^{-5}.
Podemos também escrever 8x^{-5} como \dfrac{8}{x^{5}}.

Passo 5

Derivada do terceiro termo \sqrt{4\pi}.
\sqrt{4\pi} é uma constante (observação: \sqrt{4\pi}=2\sqrt{\pi}, mas não precisamos desse valor). A derivada de uma constante é zero:
\frac{d}{dx}\sqrt{4\pi}=0.

Passo 6

Somando as derivadas dos três termos (regra da soma), obtemos
y'=\big(2x^{3}-\cos 3x\big)^{4}\big(6x^{2}+3\sin 3x\big)+8x^{-5}+0.
Fazendo uma simplificação algébrica fatorando 3 no segundo fator do primeiro termo:
6x^{2}+3\sin 3x=3\big(2x^{2}+\sin 3x\big),
então uma forma mais compacta é
y'=3\big(2x^{3}-\cos 3x\big)^{4}\big(2x^{2}+\sin 3x\big)+\frac{8}{x^{5}}.

Resposta

y'=3\big(2x^{3}-\cos 3x\big)^{4}\big(2x^{2}+\sin 3x\big)+\dfrac{8}{x^{5}}

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