Questão (valor
ponto) Usando as propriedades de derivadas, em cada item determine
, faça simplificações, sempre que possível:
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada
da função
Informações dadas e coisas úteis que já vemos no enunciado:
- A função é soma de três termos:
, e a constante . - Precisamos aplicar regras de derivação (regra da soma, constante multiplicativa, regra da potência junto com a regra da cadeia, derivada de funções trigonométricas e de potências com expoente negativo).
- Não há mais informações externas necessárias.
Passo 2
Vou recordar as regras de derivada que vou usar (com explicação simples e o que cada símbolo significa):
- Regra da soma: a derivada da soma é a soma das derivadas. Se
então . - Constante multiplicativa: se
com constante, então . - Regra da potência + cadeia (para composições): se
com função de e constante, então
onde
é a derivada da função interna
.
- Derivada da função coseno composta: se
com constante, então
- Regra da potência para
(válida para qualquer real ): . Assim, para potências negativas, por exemplo , vale a mesma fórmula.
Passo 3
Derivada do primeiro termo
.
Defino a função interna
Pela regra da potência + cadeia,
Como há fator
multiplicando, aplicando a constante multiplicativa:
Agora calculo
. Derivando termo a termo:
-
. -
, pois .
Portanto
Juntando,
Passo 4
Derivada do segundo termo
.
Reescrevo
como
. Usando a regra da potência,
Podemos também escrever
como
.
Passo 5
Derivada do terceiro termo
.
Passo 6
Somando as derivadas dos três termos (regra da soma), obtemos
Fazendo uma simplificação algébrica fatorando
no segundo fator do primeiro termo:
então uma forma mais compacta é