Questão (valor
ponto) Usando as propriedades de derivadas, em cada item determine
, faça simplificações, sempre que possível:
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
para a função
Informações dadas e o que será usado (apenas listando):
- A função está composta por duas parcelas: uma fração com exponencial no denominador e uma função tangente ao quadrado.
- Precisa-se derivar cada parcela e somar os resultados (com sinal apropriado).
- Vou aplicar regras de derivação: reescrever a fração como produto para aplicar a regra do produto, e usar a regra da cadeia para a parte com
.
Passo 2
Reescrever a primeira parcela de forma mais conveniente para derivar:
Observando o expoente,
Portanto a primeira parcela fica
que é um produto de
e
. Isso facilita o uso da regra do produto.
Passo 3
Derivar a primeira parcela usando a regra do produto. Lembrete da regra do produto (escrito aqui para fixar): se
então
Calcular
e
:
Para
usa-se que
. Aqui
e
. Logo
Aplicando a regra do produto:
Agrupando
em fator comum:
Desenvolvendo o parêntese:
Passo 4
Derivar a segunda parcela
. Aqui usaremos duas coisas:
- Regra da cadeia: se
, então . - Regra da derivada de
: .
Escrevendo a parcela comocom , temos primeiro a derivada de que é , depois a derivada de que é .
Passo a passo:
E
Como
, temos
. Portanto
Podemos organizar os fatores:
Passo 5
Agora somamos as derivadas das duas parcelas para obter
. A derivada da primeira parcela foi
e a da segunda parcela foi
Portanto
Podemos fatorar um
se quisermos uma forma mais compacta:
E ainda, colocando o fator
em evidência: