\mathbf{8}^{\mathbf{a}} Questão (valor \mathbf{1 , 0} ponto) Usando as propriedades de derivadas, em cada item determine y^{\prime}=\frac{d y}{d x}, faça simplificações, sempre que possível:
y=\frac{2 x^{4}-1}{e^{3-2 x}}-\operatorname{tg}^{2}\left(x^{3}-x\right).

Passo 1

O enunciado pede para calcular y'=\dfrac{dy}{dx} para a função
y=\frac{2x^{4}-1}{e^{3-2x}}-\operatorname{tg}^{2}\left(x^{3}-x\right).
Informações dadas e o que será usado (apenas listando):
  • A função está composta por duas parcelas: uma fração com exponencial no denominador e uma função tangente ao quadrado.
  • Precisa-se derivar cada parcela e somar os resultados (com sinal apropriado).
  • Vou aplicar regras de derivação: reescrever a fração como produto para aplicar a regra do produto, e usar a regra da cadeia para a parte com \operatorname{tg}^2.

Passo 2

Reescrever a primeira parcela de forma mais conveniente para derivar:
\frac{2x^{4}-1}{e^{3-2x}}=(2x^{4}-1)\,e^{-(3-2x)}.
Observando o expoente,
e^{-(3-2x)}=e^{-3+2x}=e^{2x-3}.
Portanto a primeira parcela fica
(2x^{4}-1)\,e^{2x-3},
que é um produto de u(x)=2x^{4}-1 e v(x)=e^{2x-3}. Isso facilita o uso da regra do produto.

Passo 3

Derivar a primeira parcela usando a regra do produto. Lembrete da regra do produto (escrito aqui para fixar): se h(x)=u(x)v(x) então
h'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Calcular u'(x) e v'(x):
u(x)=2x^{4}-1\quad\Rightarrow\quad u'(x)=8x^{3}.
Para v(x)=e^{2x-3} usa-se que \dfrac{d}{dx}e^{g(x)}=g'(x)e^{g(x)}. Aqui g(x)=2x-3 e g'(x)=2. Logo
v'(x)=2e^{2x-3}.
Aplicando a regra do produto:
\frac{d}{dx}\big[(2x^{4}-1)e^{2x-3}\big]=8x^{3}e^{2x-3}+(2x^{4}-1)\cdot 2e^{2x-3}.
Agrupando e^{2x-3} em fator comum:
\frac{d}{dx}\big[(2x^{4}-1)e^{2x-3}\big]=e^{2x-3}\big(8x^{3}+2(2x^{4}-1)\big).
Desenvolvendo o parêntese:
8x^{3}+2(2x^{4}-1)=8x^{3}+4x^{4}-2=4x^{4}+8x^{3}-2.

Passo 4

Derivar a segunda parcela -\operatorname{tg}^{2}\big(x^{3}-x\big). Aqui usaremos duas coisas:
  • Regra da cadeia: se F(x)=\varphi(\psi(x)), então F'(x)=\varphi'(\psi(x))\psi'(x).
  • Regra da derivada de \tan: \dfrac{d}{du}\tan(u)=\operatorname{sec}^{2}(u).
    Escrevendo a parcela como -[\tan(u)]^{2} com u(x)=x^{3}-x, temos primeiro a derivada de z\mapsto z^{2} que é 2z, depois a derivada de \tan(u) que é \operatorname{sec}^{2}(u)u'.
Passo a passo:
\frac{d}{dx}\big[-\tan^{2}(u)\big]=-2\tan(u)\cdot\frac{d}{dx}\big(\tan(u)\big).
E
\frac{d}{dx}\big(\tan(u)\big)=\operatorname{sec}^{2}(u)\,u'(x).
Como u(x)=x^{3}-x, temos u'(x)=3x^{2}-1. Portanto
\frac{d}{dx}\big[-\tan^{2}(x^{3}-x)\big]=-2\tan(x^{3}-x)\cdot\operatorname{sec}^{2}(x^{3}-x)\cdot(3x^{2}-1).
Podemos organizar os fatores:
\frac{d}{dx}\big[-\tan^{2}(x^{3}-x)\big]=-2(3x^{2}-1)\tan(x^{3}-x)\operatorname{sec}^{2}(x^{3}-x).

Passo 5

Agora somamos as derivadas das duas parcelas para obter y'. A derivada da primeira parcela foi
e^{2x-3}\big(4x^{4}+8x^{3}-2\big),
e a da segunda parcela foi
-2(3x^{2}-1)\tan(x^{3}-x)\operatorname{sec}^{2}(x^{3}-x).
Portanto
y'=e^{2x-3}\big(4x^{4}+8x^{3}-2\big)-2(3x^{2}-1)\tan(x^{3}-x)\operatorname{sec}^{2}(x^{3}-x).
Podemos fatorar um 2 se quisermos uma forma mais compacta:
y'=2\;e^{2x-3}\big(2x^{4}+4x^{3}-1\big)-2(3x^{2}-1)\tan(x^{3}-x)\operatorname{sec}^{2}(x^{3}-x).
E ainda, colocando o fator 2 em evidência:
y'=2\Big[e^{2x-3}\big(2x^{4}+4x^{3}-1\big)-(3x^{2}-1)\tan(x^{3}-x)\operatorname{sec}^{2}(x^{3}-x)\Big].

Resposta

y'=e^{2x-3}\big(4x^{4}+8x^{3}-2\big)-2(3x^{2}-1)\tan(x^{3}-x)\operatorname{sec}^{2}(x^{3}-x)

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