Questăo: (Valor: 2,0) - Uma particula segue uma trajetória dada em função do tempo pelo vetor posição
(metro). Uma das forças que atuam sobre a particula é dada por:
(Newton).
Delermine a função potência
, devido a esta força;
(b) Determine o trabalho realizado por esta força no intervalo de tempo de
até
.
(é) Neste intervalo de tempo, a velocidade da partícula aumenta, diminui ou permanece constante? Justifique.
Passo 1
O enunciado fornece: a posição da partícula em função do tempo
(metros) e uma força constante
(newtons). Ele pede três coisas:
- (a) Determinar a potência
devido a essa força. - (b) Determinar o trabalho realizado por essa força no intervalo de tempo de
até . - (c) Dizer se, nesse intervalo, a velocidade da partícula aumenta, diminui ou permanece constante, e justificar.
As informações relevantes são:
e
. Não há outras forças ou condições ocultas fornecidas; a força dada é constante no tempo.
Passo 2
Primeiro precisamos da velocidade da partícula. Conceito rápido: a velocidade
é a derivada do vetor posição em relação ao tempo. Derivamos cada componente separadamente (derivada componente a componente é válido para vetores).
Calculemos:
Derivando cada componente:
-
, -
.
Logo,
Unidades:
em
porque
estava em metros e derivamos em relação a segundos.
Passo 3
Agora a potência instantânea: conceito e fórmula. A potência instantânea que uma força
realiza sobre uma partícula que se move com velocidade
é o produto escalar (dot product) entre
e
:
Lembrete sobre produto escalar: para vetores
e
, tem-se
. O resultado é um escalar; aqui a unidade será watt (
).
Aplicando ao nosso caso:
e
. Então
Calcule passo a passo:
-
, -
.
Portanto,
Passo 4
Para o trabalho realizado entre
e
, usamos a relação entre potência e trabalho. Conceito: a potência é a taxa de variação do trabalho, isto é
. Assim o trabalho total no intervalo
é a integral da potência:
Também pode ser visto como
, que é equivalente.
Aqui
e
, e
. Então montamos a integral
Passo 5
Calcule a integral passo a passo. Primeiro a primitiva:
Agora avaliamos entre
e
:
Calcule os termos:
-
, -
.
Somando:
.
Portanto o trabalho realizado no intervalo é
(joules).
Passo 6
Agora a pergunta qualitativa: a velocidade aumenta, diminui ou permanece constante? Vamos analisar.
Temos o vetor velocidade
. Isso mostra que a componente na direção
é constante
e a componente na direção
é
, que cresce linearmente com
. Então o vetor velocidade muda com o tempo (mudança na componente
).
Se a pergunta refere-se ao módulo da velocidade (a rapidez), calculemos:
Para
, a quantidade
cresce com
, logo
cresce com
. Podemos ver matematicamente que a derivada do módulo é
que é não negativa e positiva para
. Assim o módulo da velocidade aumenta com o tempo no intervalo considerado
.
Outra justificativa física curta: a potência
é positiva para
, isso significa que a força realiza trabalho positivo, aumentando a energia cinética da partícula, logo a rapidez aumenta.
Conclusão: a velocidade (em módulo) aumenta no intervalo
.
Resposta
(a)
(b)
(c) A velocidade (módulo) aumenta no intervalo (justificativa:
tem componente
crescente e
cresce; além disso
aumenta a energia cinética).
(b)
(c) A velocidade (módulo) aumenta no intervalo