1^{\mathbf{a}} Questăo: (Valor: 2,0) - Uma particula segue uma trajetória dada em função do tempo pelo vetor posição r=2 t \mathrm{i}+3 t^{2} \mathrm{j} (metro). Uma das forças que atuam sobre a particula é dada por: F=2 \mathrm{i}+1,5 \mathrm{j} (Newton).
(0,5)(\mathrm{a}) Delermine a função potência \mathrm{P}(\mathrm{t}), devido a esta força;
(1,0) (b) Determine o trabalho realizado por esta força no intervalo de tempo de t=0 até t=2 \mathrm{~s}.
(0,5) (é) Neste intervalo de tempo, a velocidade da partícula aumenta, diminui ou permanece constante? Justifique.

Passo 1

O enunciado fornece: a posição da partícula em função do tempo r(t)=2t\,\mathrm{i}+3t^{2}\,\mathrm{j} (metros) e uma força constante \mathbf{F}=2\,\mathrm{i}+1{,}5\,\mathrm{j} (newtons). Ele pede três coisas:
  • (a) Determinar a potência P(t) devido a essa força.
  • (b) Determinar o trabalho realizado por essa força no intervalo de tempo de t=0 até t=2\\ \mathrm{s}.
  • (c) Dizer se, nesse intervalo, a velocidade da partícula aumenta, diminui ou permanece constante, e justificar.
As informações relevantes são: r(t) e \mathbf{F}. Não há outras forças ou condições ocultas fornecidas; a força dada é constante no tempo.

Passo 2

Primeiro precisamos da velocidade da partícula. Conceito rápido: a velocidade \mathbf{v}(t) é a derivada do vetor posição em relação ao tempo. Derivamos cada componente separadamente (derivada componente a componente é válido para vetores).
Calculemos:
\mathbf{v}(t)=\frac{d}{dt}r(t)=\frac{d}{dt}\big(2t\,\mathrm{i}+3t^{2}\,\mathrm{j}\big).
Derivando cada componente:
  • \frac{d}{dt}(2t)=2,
  • \frac{d}{dt}(3t^{2})=6t.
Logo,
\mathbf{v}(t)=2\,\mathrm{i}+6t\,\mathrm{j}.
Unidades: \mathbf{v} em \mathrm{m/s} porque r estava em metros e derivamos em relação a segundos.

Passo 3

Agora a potência instantânea: conceito e fórmula. A potência instantânea que uma força \mathbf{F} realiza sobre uma partícula que se move com velocidade \mathbf{v} é o produto escalar (dot product) entre \mathbf{F} e \mathbf{v}:
P(t)=\mathbf{F}\cdot\mathbf{v}(t).
Lembrete sobre produto escalar: para vetores \mathbf{A}=A_x\,\mathrm{i}+A_y\,\mathrm{j} e \mathbf{B}=B_x\,\mathrm{i}+B_y\,\mathrm{j}, tem-se \mathbf{A}\cdot\mathbf{B}=A_xB_x+A_yB_y. O resultado é um escalar; aqui a unidade será watt ( \mathrm{W}=\mathrm{N}\cdot\mathrm{m/s}).
Aplicando ao nosso caso: \mathbf{F}=2\,\mathrm{i}+1{,}5\,\mathrm{j} e \mathbf{v}(t)=2\,\mathrm{i}+6t\,\mathrm{j}. Então
P(t)=2\cdot 2 + 1{,}5\cdot (6t).
Calcule passo a passo:
  • 2\cdot 2 = 4,
  • 1{,}5\cdot 6t = 9t.
Portanto,
P(t)=4+9t\quad\text{(em watts)}.

Passo 4

Para o trabalho realizado entre t=0 e t=2, usamos a relação entre potência e trabalho. Conceito: a potência é a taxa de variação do trabalho, isto é P(t)=\dfrac{dW}{dt}. Assim o trabalho total no intervalo [t_1,t_2] é a integral da potência:
W=\int_{t_1}^{t_2} P(t)\,dt.
Também pode ser visto como W=\int_{t_1}^{t_2}\mathbf{F}\cdot\mathbf{v}(t)\,dt, que é equivalente.
Aqui t_1=0 e t_2=2, e P(t)=4+9t. Então montamos a integral
W=\int_{0}^{2} (4+9t)\,dt.

Passo 5

Calcule a integral passo a passo. Primeiro a primitiva:
\int (4+9t)\,dt = 4t + \frac{9}{2}t^{2} + C.
Agora avaliamos entre 0 e 2:
W=\Big[4t + \frac{9}{2}t^{2}\Big]_{0}^{2} = \left(4\cdot 2 + \frac{9}{2}\cdot 2^{2}\right) - \left(4\cdot 0 + \frac{9}{2}\cdot 0^{2}\right).
Calcule os termos:
  • 4\cdot 2 = 8,
  • \frac{9}{2}\cdot 2^{2} = \frac{9}{2}\cdot 4 = 18.
Somando: 8 + 18 = 26.
Portanto o trabalho realizado no intervalo é W=26\\ \mathrm{J} (joules).

Passo 6

Agora a pergunta qualitativa: a velocidade aumenta, diminui ou permanece constante? Vamos analisar.
Temos o vetor velocidade \mathbf{v}(t)=2\,\mathrm{i}+6t\,\mathrm{j}. Isso mostra que a componente na direção \mathrm{i} é constante 2 e a componente na direção \mathrm{j} é 6t, que cresce linearmente com t. Então o vetor velocidade muda com o tempo (mudança na componente \mathrm{j}).
Se a pergunta refere-se ao módulo da velocidade (a rapidez), calculemos:
\lVert \mathbf{v}(t)\rVert = \sqrt{(2)^{2} + (6t)^{2}} = \sqrt{4 + 36t^{2}}.
Para t\ge 0, a quantidade 36t^{2} cresce com t, logo \lVert \mathbf{v}(t)\rVert cresce com t. Podemos ver matematicamente que a derivada do módulo é
\frac{d}{dt}\lVert \mathbf{v}(t)\rVert = \frac{36t}{\sqrt{4+36t^{2}}},
que é não negativa e positiva para t>0. Assim o módulo da velocidade aumenta com o tempo no intervalo considerado [0,2].
Outra justificativa física curta: a potência P(t)=4+9t é positiva para t\ge 0, isso significa que a força realiza trabalho positivo, aumentando a energia cinética da partícula, logo a rapidez aumenta.
Conclusão: a velocidade (em módulo) aumenta no intervalo 0\le t\le 2.

Resposta

(a) P(t)=4+9t\\ \mathrm{W}
(b) W=26\\ \mathrm{J}
(c) A velocidade (módulo) aumenta no intervalo 0\le t\le 2 (justificativa: \mathbf{v}(t)=2\,\mathrm{i}+6t\,\mathrm{j} tem componente \mathrm{j} crescente e \lVert\mathbf{v}(t)\rVert=\sqrt{4+36t^{2}} cresce; além disso P(t)>0 aumenta a energia cinética).

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