4^{\mathrm{a}} Questão - (Valor: 2,5) - Dois amigos, um com massa =90,0 \mathrm{~kg} e outro com massa =60,0 \mathrm{~kg}, estão separados por uma distância de 20,0 \mathrm{~m}, brincando de cabo-de-guerra em pé sobre uma superficie lisa (sem atrito). Na metade da distância entre eles, existe uma caneca. Eles puxam a extremidade de uma corda leve e esticada entre eles. Considere que eles se movimentam apenas numa direção, agora responda:
(1,5) Quando o amigo mais pesado se desloca 5,0 \mathrm{~m} no sentido da caneca, em que sentido se desloca o outro amigo e qual a distância percorrida por eles?
(1,0) (b) Suponha agora que um dos amigos puxa a corda atingindo uma velocidade de 0,70 \mathrm{~m} / \\\mathrm{s}. Qual é a velocidade do outro amigo ?
Observação: Considere em todas as questões numéricas \mathrm{g}=10,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}.

Passo 1

O enunciado dá duas pessoas ligadas por uma corda leve e esticada, sobre superfície sem atrito, separadas inicialmente por 20,0\\ \mathrm{m}. Há uma caneca no ponto médio entre elas. As massas são m_1=90,0\\ \mathrm{kg} (amigo mais pesado) e m_2=60,0\\ \mathrm{kg} (amigo mais leve). Perguntas:
  • (parte a, valor 1,5) Quando o amigo mais pesado se desloca 5,0\\ \mathrm{m} no sentido da caneca, em que sentido se desloca o outro amigo e qual a distância percorrida por cada um?
  • (parte b, valor 1,0) Se um dos amigos atinge velocidade 0,70\\ \mathrm{m/s}, qual é a velocidade do outro amigo?
Dados numéricos relevantes extraídos do enunciado: m_1=90,0\\ \mathrm{kg}, m_2=60,0\\ \mathrm{kg}, distância inicial entre eles =20,0\\ \mathrm{m}, deslocamento do amigo mais pesado =5,0\\ \mathrm{m}, velocidade dada a um amigo =0,70\\ \mathrm{m/s}. Observação: não há atrito nem forças externas horizontais.

Passo 2

Princípio físico que vamos usar (explicação didática e simples): numa direção horizontal sem forças externas, o centro de massa (CM) do sistema não se desloca. Isso é consequência da segunda lei de Newton aplicada ao sistema: a soma das forças externas é igual à massa total vezes a aceleração do CM; se não há força externa horizontal, a aceleração do CM é zero, portanto a posição do CM é constante. Em linguagem prática: os deslocamentos dos corpos ligados por forças internas devem satisfazer
m_1 \,\Delta x_1 + m_2 \,\Delta x_2 = 0,
onde \Delta x_1 e \Delta x_2 são os deslocamentos (com sinal) dos corpos na mesma direção escolhida. Aqui \Delta x positivo significa movimento para a direita (escolha de sinal arbitrária), e negativo para a esquerda. Essa relação é simplesmente a conservação do momento linear inicial nulo aplicada ao estado de deslocamentos (equivalente à conservação do centro de massa).
Explicando as variáveis:
  • m_1 e m_2 são as massas dos dois amigos (em kg).
  • \Delta x_1 e \Delta x_2 são os deslocamentos (em m) com sinal; seus sinais indicam sentido.

Passo 3

Aplicando a fórmula dos deslocamentos ao caso da parte (a).
Escolho como sentido positivo o movimento do amigo mais pesado em direção à caneca. O enunciado diz que o amigo mais pesado ( m_1) se desloca
\Delta x_1 = +5,0\\ \mathrm{m}.
Usando a condição de conservação do CM:
m_1\,\Delta x_1 + m_2\,\Delta x_2 = 0.
Isolando \Delta x_2,
\Delta x_2 = -\frac{m_1}{m_2}\,\Delta x_1.

Passo 4

Substituindo os valores numéricos na expressão para \Delta x_2:
\Delta x_2 = -\frac{90,0}{60,0}\times 5,0\\ \mathrm{m}.
Calcule o fator:
\frac{90,0}{60,0}=1,5.
Portanto
\Delta x_2 = -1,5\times 5,0\\ \mathrm{m} = -7,5\\ \mathrm{m}.
Interpretação do sinal: \Delta x_2 negativo significa que o amigo m_2 desloca-se no sentido oposto ao sentido positivo escolhido. Como escolhemos positivo no sentido do deslocamento do amigo mais pesado em direção à caneca, o amigo mais leve desloca-se no sentido contrário do positivo — isto é, também em direção à caneca (porque os dois se aproximam) mas com sinal oposto relativo à convenção. Em palavras simples: ambos se deslocam em direção à caneca; o amigo mais pesado percorre 5,0\\ \mathrm{m} e o mais leve percorre 7,5\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Verificação física e consequência no intervalo entre eles: a soma dos deslocamentos relativos reduz a separação entre eles em
5,0\\ \mathrm{m} + 7,5\\ \mathrm{m} = 12,5\\ \mathrm{m},
logo a nova separação será 20,0-12,5=7,5\\ \mathrm{m}. Isso confirma coerência: ambos se aproximaram.

Passo 6

Agora a parte (b): relação entre velocidades quando não há força externa horizontal. A mesma ideia de conservação vale para momento linear: se inicialmente estavam em repouso, o momento total inicial é zero e permanecerá zero. Assim, para velocidades finais (num mesmo instante),
m_1 v_1 + m_2 v_2 = 0.
Isolando v_2,
v_2 = -\frac{m_1}{m_2}\,v_1.
Aqui v_1 é a velocidade de um dos amigos (por exemplo o que atinge 0,70\\ \mathrm{m/s}) e v_2 é a velocidade do outro; o sinal negativo indica sentidos opostos.

Passo 7

Substituindo numericamente: se um amigo tem velocidade v=0,70\\ \mathrm{m/s}, então a velocidade do outro (em módulo)
|v_2|=\frac{m_1}{m_2}\,|v_1|=\frac{90,0}{60,0}\times 0,70\\ \mathrm{m/s}=1,5\times 0,70\\ \mathrm{m/s}=1,05\\ \mathrm{m/s}.
Portanto o outro amigo se move com velocidade 1,05\\ \mathrm{m/s} em sentido oposto ao primeiro.

Resposta

O amigo mais leve desloca-se em sentido oposto ao do amigo mais pesado (ambos em direção à caneca); distâncias: amigo mais pesado 5,0\\ \mathrm{m}, amigo mais leve 7,5\\ \mathrm{m}.
Se um dos amigos tem velocidade 0,70\\ \mathrm{m/s}, o outro tem velocidade 1,05\\ \mathrm{m/s} em sentido oposto.

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