5^{\mathrm{a}} Questão: (valor: 2,0 ) - Uma barata de massa m está sobre um disco de vinil de massa 6,0 m e raio R. O disco gira em torno de um eixo central, com velocidade angular igual a 1,50 \mathrm{rad} / \mathrm{s}. A barata está inicialmente a uma distância r=0,80 R do centro do disco, mas rasteja até a borda do disco. Trate a barata como se fosse uma particula. Determine as suas velocidades angular e linear quando a mesma chega a borda do disco. Considere R=\mathbf{3 0 , 0 c m} e saiba que o momento de inércia de um disco que gira em torno de um eixo central é dado por I=(1 / 2) M R^{2}.
Observação; Considere em todas as questǒes numéricas \mathrm{g}=10,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}. Boa Sortel…

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede duas grandezas quando a barata chega à borda do disco:
  • Massa da barata: m (não é dado numericamente; trataremos simbolicamente).
  • Massa do disco: 6{,}0\,m (ou seja, M_{\text{disco}}=6{,}0\,m).
  • Raio do disco: R= 30{,}0\\ \text{cm} (vou usar R=0{,}30\\ \mathrm{m} nas contas).
  • Posição inicial da barata: r=0{,}80\,R.
  • Velocidade angular inicial do conjunto (disco + barata): \omega_0=1{,}50\\ \mathrm{rad/s}.
  • Momento de inércia do disco em relação ao eixo central: \displaystyle I_{\text{disco}}=\frac{1}{2}M_{\text{disco}}R^{2}.
  • Tratar a barata como partícula (momento de inércia da barata em raio r: I_{\text{barata}}=m r^{2}).
O que se pede:
  1. Velocidade angular da barata (ou seja, a velocidade angular do sistema) quando ela chega à borda: \omega_f.
  2. Velocidade linear da barata na borda: v_f.

Passo 2

Princípio físico a usar (aula rápida e intuitiva):
  • Angular momentum (momento angular) de um sistema em torno do eixo é \displaystyle L=I\omega, onde \displaystyle I é o momento de inércia total do sistema e \displaystyle \omega é a velocidade angular.
  • Se não há torque externo resultante em torno do eixo, o momento angular total é conservado: \displaystyle I_i\omega_0 = I_f\omega_f.
  • Aqui assumimos que o eixo do disco não aplica torque externo significativo sobre o sistema disco+barata (forças de contato internas entre barata e disco não mudam o momento angular total), portanto podemos usar conservação de L.
  • Momento de inércia de uma partícula de massa \displaystyle m a uma distância \displaystyle r do eixo: \displaystyle I_{\text{part}} = m r^{2}.
  • Momento de inércia do disco fornecido: \displaystyle I_{\text{disco}}=\frac{1}{2}M_{\text{disco}}R^{2}.

Passo 3

Calcular o momento de inércia do disco (usando M_{\text{disco}}=6{,}0\,m):
I_{\text{disco}}=\frac{1}{2}M_{\text{disco}}R^{2}=\frac{1}{2}\cdot 6{,}0\,m\cdot R^{2}=3{,}0\,m\,R^{2}.
Explicação curta: multiplicamos a massa do disco pela constante 1/2 e por R^{2}.

Passo 4

Calcular o momento de inércia da barata na posição inicial r=0{,}80\,R:
I_{\text{barata, i}}=m r^{2}=m(0{,}80\,R)^{2}=m\cdot 0{,}64\,R^{2}=0{,}64\,m\,R^{2}.

Passo 5

Somar para obter o momento de inércia total inicial \displaystyle I_i:
I_i = I_{\text{disco}} + I_{\text{barata, i}} = 3{,}0\,m\,R^{2} + 0{,}64\,m\,R^{2} = 3{,}64\,m\,R^{2}.
Observação: note que o fator mR^{2} é comum e fica multiplicando 3{,}64.

Passo 6

Calcular o momento de inércia total final \displaystyle I_f quando a barata chega à borda ( r=R):
Momento de inércia da barata na borda:
I_{\text{barata, f}} = mR^{2}.
Portanto
I_f = I_{\text{disco}} + I_{\text{barata, f}} = 3{,}0\,m\,R^{2} + 1{,}0\,m\,R^{2} = 4{,}0\,m\,R^{2}.

Passo 7

Aplicar conservação do momento angular para achar \omega_f:
I_i \omega_0 = I_f \omega_f \quad\Rightarrow\quad \omega_f = \frac{I_i}{I_f}\,\omega_0.
Substituindo os valores obtidos:
\omega_f = \frac{3{,}64\,m\,R^{2}}{4{,}0\,m\,R^{2}}\cdot 1{,}50\\ \mathrm{rad/s}.
Aqui o fator mR^{2} cancela, ficando apenas números:
\omega_f = \frac{3{,}64}{4{,}0}\cdot 1{,}50 = 0{,}91\cdot 1{,}50 = 1{,}365\\ \mathrm{rad/s}.
Arredondando com três algarismos significativos (bom para essa questão):
\omega_f \approx 1{,}37\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 8

Calcular a velocidade linear da barata na borda: v_f = \omega_f R.
Converter R para metros (peguei esse dado do enunciado: R=30{,}0\\ \text{cm}):
R=0{,}30\\ \mathrm{m}.
Portanto
v_f = \omega_f R = 1{,}365\\ \mathrm{rad/s}\times 0{,}30\\ \mathrm{m} = 0{,}4095\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando:
v_f \approx 0{,}410\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

\omega_f = 1{,}37\\ \mathrm{rad/s}
v_f = 0{,}410\\ \mathrm{m/s}

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