Questão: (valor: 2,0 ) - Uma barata de massa
está sobre um disco de vinil de massa
e raio
. O disco gira em torno de um eixo central, com velocidade angular igual a
. A barata está inicialmente a uma distância
do centro do disco, mas rasteja até a borda do disco. Trate a barata como se fosse uma particula. Determine as suas velocidades angular e linear quando a mesma chega a borda do disco. Considere
e saiba que o momento de inércia de um disco que gira em torno de um eixo central é dado por
.
Observação; Considere em todas as questǒes numéricas
. Boa Sortel…
Passo 1
O enunciado fornece os seguintes dados e pede duas grandezas quando a barata chega à borda do disco:
- Massa da barata:
(não é dado numericamente; trataremos simbolicamente). - Massa do disco:
(ou seja, ). - Raio do disco:
(vou usar nas contas). - Posição inicial da barata:
. - Velocidade angular inicial do conjunto (disco + barata):
. - Momento de inércia do disco em relação ao eixo central:
. - Tratar a barata como partícula (momento de inércia da barata em raio
: ).
O que se pede:
- Velocidade angular da barata (ou seja, a velocidade angular do sistema) quando ela chega à borda:
. - Velocidade linear da barata na borda:
.
Passo 2
Princípio físico a usar (aula rápida e intuitiva):
- Angular momentum (momento angular) de um sistema em torno do eixo é
, onde é o momento de inércia total do sistema e é a velocidade angular. - Se não há torque externo resultante em torno do eixo, o momento angular total é conservado:
. - Aqui assumimos que o eixo do disco não aplica torque externo significativo sobre o sistema disco+barata (forças de contato internas entre barata e disco não mudam o momento angular total), portanto podemos usar conservação de
. - Momento de inércia de uma partícula de massa
a uma distância do eixo: . - Momento de inércia do disco fornecido:
.
Passo 3
Calcular o momento de inércia do disco (usando
):
Explicação curta: multiplicamos a massa do disco pela constante
e por
.
Passo 4
Calcular o momento de inércia da barata na posição inicial
:
Passo 5
Somar para obter o momento de inércia total inicial
:
Observação: note que o fator
é comum e fica multiplicando
.
Passo 6
Calcular o momento de inércia total final
quando a barata chega à borda (
):
Momento de inércia da barata na borda:
Portanto
Passo 7
Aplicar conservação do momento angular para achar
:
Substituindo os valores obtidos:
Aqui o fator
cancela, ficando apenas números:
Arredondando com três algarismos significativos (bom para essa questão):
Passo 8
Calcular a velocidade linear da barata na borda:
.
Converter
para metros (peguei esse dado do enunciado:
):
Portanto
Arredondando: