\mathbf{r}(t)=\cos t \mathbf{i}+\operatorname{sen} t \mathbf{j}+\ln \cos t \mathbf{k}, \quad 0 \leq t \leq \pi / 4
Avalia: Comprimento de arco via L=\int\left|\mathbf{r}^{\prime}(t)\right| d t; simplificação envolvendo funções trigonométricas.
Fórmula: L=\int_{0}^{\pi / 4} \sqrt{r_{1}^{\prime 2}+r_{2}^{\prime 2}+r_{3}^{\prime 2}} d t

Passo 1

O enunciado fornece a curva paramétrica
\mathbf{r}(t)=\cos t\,\mathbf{i}+\sin t\,\mathbf{j}+\ln(\cos t)\,\mathbf{k},\qquad 0\le t\le \frac{\pi}{4},
e pede o comprimento de arco dado por
L=\int_{0}^{\pi/4}\left|\mathbf{r}'(t)\right|\,dt.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • As componentes da curva são \;r_1(t)=\cos t,\; r_2(t)=\sin t,\; r_3(t)=\ln(\cos t).
  • O intervalo de integração é \;[0,\pi/4].
  • Precisamos calcular \mathbf{r}'(t), o módulo \left|\mathbf{r}'(t)\right|, simplificar usando identidades trigonométricas e integrar.

Passo 2

Calcular \mathbf{r}'(t) componente a componente, aplicando regras básicas de derivação (derivada da função seno/cosseno e regra da cadeia para \ln(\cos t)):
r_1'(t)=\frac{d}{dt}\cos t = -\sin t,
r_2'(t)=\frac{d}{dt}\sin t = \cos t,
r_3'(t)=\frac{d}{dt}\ln(\cos t)=\frac{1}{\cos t}\cdot\frac{d}{dt}\cos t=\frac{1}{\cos t}(-\sin t)=-\tan t.
Então
\mathbf{r}'(t)=-\sin t\,\mathbf{i}+\cos t\,\mathbf{j}-\tan t\,\mathbf{k}.

Passo 3

Calcular o módulo \left|\mathbf{r}'(t)\right|. Lembrando que o módulo de um vetor (a,b,c) é \sqrt{a^2+b^2+c^2}:
\left|\mathbf{r}'(t)\right|=\sqrt{(-\sin t)^2+(\cos t)^2+(-\tan t)^2} =\sqrt{\sin^2 t+\cos^2 t+\tan^2 t}.
Usar a identidade trigonométrica básica \sin^2 t+\cos^2 t=1 para simplificar:
\left|\mathbf{r}'(t)\right|=\sqrt{1+\tan^2 t}.
Outra identidade conhecida é 1+\tan^2 t=\operatorname{sec}^2 t. Logo
\left|\mathbf{r}'(t)\right|=\sqrt{\operatorname{sec}^2 t}=|\operatorname{sec} t|.
No intervalo \;0\le t\le \frac{\pi}{4}\; temos \cos t>0, portanto |\operatorname{sec} t|=\operatorname{sec} t. Assim
\left|\mathbf{r}'(t)\right|=\operatorname{sec} t\quad\text{para }0\le t\le\frac{\pi}{4}.

Passo 4

Montar a integral do comprimento com a expressão encontrada:
L=\int_{0}^{\pi/4}\operatorname{sec} t\,dt.
Agora precisamos da primitiva de \operatorname{sec} t. Uma maneira padrão e elegante de obter \int \operatorname{sec} t\,dt é multiplicar e dividir por \operatorname{sec} t+\tan t e usar substituição. Procedimento:
escreve-se
\int \operatorname{sec} t\,dt=\int \frac{\operatorname{sec} t(\operatorname{sec} t+\tan t)}{\operatorname{sec} t+\tan t}\,dt =\int \frac{\operatorname{sec}^2 t+\operatorname{sec} t\tan t}{\operatorname{sec} t+\tan t}\,dt.
Fazendo a substituição u=\operatorname{sec} t+\tan t temos
\frac{du}{dt}=\operatorname{sec} t\tan t+\operatorname{sec}^2 t,
ou seja du=(\operatorname{sec}^2 t+\operatorname{sec} t\tan t)\,dt. Portanto a integral fica
\int \operatorname{sec} t\,dt=\int \frac{1}{u}\,du=\ln|u|+C=\ln\bigl|\operatorname{sec} t+\tan t\bigr|+C.
(Observação: o valor absoluto aparece por segurança; no nosso intervalo \operatorname{sec} t+\tan t>0 então poderemos remover o valor absoluto ao avaliar.)

Passo 5

Avaliar a integral definida usando a primitiva encontrada:
L=\left.\ln\bigl(\operatorname{sec} t+\tan t\bigr)\right|_{0}^{\pi/4} =\ln\bigl(\operatorname{sec}(\tfrac{\pi}{4})+\tan(\tfrac{\pi}{4})\bigr)-\ln\bigl(\operatorname{sec} 0+\tan 0\bigr).
Calcular as funções trigonométricas nos pontos:
\operatorname{sec}\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)=\frac{1}{\cos(\tfrac{\pi}{4})}=\frac{1}{\tfrac{\sqrt{2}}{2}}=\sqrt{2},\qquad \tan\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)=1,
\operatorname{sec} 0=1,\qquad \tan 0=0.
Substituindo:
L=\ln\bigl(\sqrt{2}+1\bigr)-\ln(1)=\ln\bigl(\sqrt{2}+1\bigr).

Resposta

\displaystyle L=\ln\bigl(\sqrt{2}+1\bigr)

Exercícios relacionados