\mathbf{r}(t)=\cos t \mathbf{i}+\operatorname{sen} t \mathbf{j}+\ln \cos t \mathbf{k}, \quad 0 \leq t \leq \pi / 4
Avalia: Comprimento de arco via L=\int\left|\mathbf{r}^{\prime}(t)\right| d t; simplificação envolvendo funções trigonométricas.
Fórmula: L=\int_{0}^{\pi / 4} \sqrt{r_{1}^{\prime 2}+r_{2}^{\prime 2}+r_{3}^{\prime 2}} d t
As componentes da curva são \;r_1(t)=\cos t,\; r_2(t)=\sin t,\; r_3(t)=\ln(\cos t).
O intervalo de integração é \;[0,\pi/4].
Precisamos calcular \mathbf{r}'(t), o módulo \left|\mathbf{r}'(t)\right|, simplificar usando identidades trigonométricas e integrar.
Passo 2
Calcular \mathbf{r}'(t) componente a componente, aplicando regras básicas de derivação (derivada da função seno/cosseno e regra da cadeia para \ln(\cos t)):
r_1'(t)=\frac{d}{dt}\cos t = -\sin t,
r_2'(t)=\frac{d}{dt}\sin t = \cos t,
r_3'(t)=\frac{d}{dt}\ln(\cos t)=\frac{1}{\cos t}\cdot\frac{d}{dt}\cos t=\frac{1}{\cos t}(-\sin t)=-\tan t.
Montar a integral do comprimento com a expressão encontrada:
L=\int_{0}^{\pi/4}\operatorname{sec} t\,dt.
Agora precisamos da primitiva de \operatorname{sec} t. Uma maneira padrão e elegante de obter \int \operatorname{sec} t\,dt é multiplicar e dividir por \operatorname{sec} t+\tan t e usar substituição. Procedimento:
escreve-se
(Observação: o valor absoluto aparece por segurança; no nosso intervalo \operatorname{sec} t+\tan t>0 então poderemos remover o valor absoluto ao avaliar.)
Passo 5
Avaliar a integral definida usando a primitiva encontrada: