Questão 23 (Grupo 21-23) Utilize o Teorema 10 para encontrar a curvatura.
\mathbf{r}(t)=3 t \mathbf{i}+4 \operatorname{sen} t \mathbf{j}+4 \cos t \mathbf{k}
Avalia: Curvatura via \kappa=\left|\mathbf{r}^{\prime} \times \mathbf{r}^{\prime \prime}\right| /\left|\mathbf{r}^{\prime}\right|^{3} (Teorema 10).

Passo 1

O enunciado pede: usar o Teorema 10, isto é a fórmula
\kappa=\frac{\left|\mathbf{r}^{\prime}(t)\times\mathbf{r}^{\prime\prime}(t)\right|}{\left|\mathbf{r}^{\prime}(t)\right|^{3}},
para calcular a curvatura da curva dada por
\mathbf{r}(t)=3t\,\mathbf{i}+4\sin t\,\mathbf{j}+4\cos t\,\mathbf{k}.
Informações dadas (explicitadas):
  • A função vetorial posição é \mathbf{r}(t)=\big(3t,\;4\sin t,\;4\cos t\big).
  • Deve-se calcular \mathbf{r}^{\prime}(t), \mathbf{r}^{\prime\prime}(t), o produto vetorial \mathbf{r}^{\prime}\times\mathbf{r}^{\prime\prime}, as normas e então aplicar a fórmula da curvatura.

Passo 2

Calcular \mathbf{r}^{\prime}(t) componente a componente. Regra: derivada de 3t é 3; derivada de \sin t é \cos t; derivada de \cos t é -\sin t. Assim
\mathbf{r}^{\prime}(t)=\big(3,\;4\cos t,\;-4\sin t\big).
Explicação didática curta: derivamos cada coordenada em relação a t. O coeficiente 4 multiplica a derivada das funções trigonométricas.

Passo 3

Calcular \mathbf{r}^{\prime\prime}(t) derivando \mathbf{r}^{\prime}(t) componente a componente. Derivada de 3 é 0; de 4\cos t é -4\sin t; de -4\sin t é -4\cos t. Assim
\mathbf{r}^{\prime\prime}(t)=\big(0,\;-4\sin t,\;-4\cos t\big).
Lembrete: derivadas básicas das funções trigonométricas foram usadas.

Passo 4

Calcular o produto vetorial \mathbf{r}^{\prime}(t)\times\mathbf{r}^{\prime\prime}(t). Usando a fórmula do determinante:
\mathbf{r}^{\prime}\times\mathbf{r}^{\prime\prime}= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\[4pt] 3 & 4\cos t & -4\sin t\\[4pt] 0 & -4\sin t & -4\cos t \end{vmatrix}.
Calcule componente a componente:
  • Componente \mathbf{i}:
(4\cos t)(-4\cos t)-(-4\sin t)(-4\sin t)=-16\cos^{2}t-16\sin^{2}t=-16(\cos^{2}t+\sin^{2}t)=-16.
(Aqui usei a identidade trigonométrica \cos^{2}t+\sin^{2}t=1.)
  • Componente \mathbf{j} (atenção ao sinal negativo da regra do determinante):
- \big(3(-4\cos t)-(-4\sin t)\cdot 0\big) = -(-12\cos t)=12\cos t.
  • Componente \mathbf{k}:
3(-4\sin t)- (4\cos t)\cdot 0 = -12\sin t.
Portanto
\mathbf{r}^{\prime}(t)\times\mathbf{r}^{\prime\prime}(t)=\big(-16,\;12\cos t,\;-12\sin t\big).]

Passo 5

Calcular a norma (módulo) do produto vetorial. Norma ao quadrado é soma dos quadrados das componentes:
\left|\mathbf{r}^{\prime}\times\mathbf{r}^{\prime\prime}\right|^{2}=(-16)^{2}+(12\cos t)^{2}+(-12\sin t)^{2}=256+144(\cos^{2}t+\sin^{2}t)=256+144=400.
Logo
\left|\mathbf{r}^{\prime}\times\mathbf{r}^{\prime\prime}\right|=\sqrt{400}=20.
Observação didática: deu um número constante porque as dependências trigonométricas se combinaram via \cos^{2}t+\sin^{2}t=1.

Passo 6

Calcular \left|\mathbf{r}^{\prime}(t)\right| e seu cubo. Primeiro a norma ao quadrado:
\left|\mathbf{r}^{\prime}(t)\right|^{2}=3^{2}+(4\cos t)^{2}+(-4\sin t)^{2}=9+16(\cos^{2}t+\sin^{2}t)=9+16=25.
Portanto
\left|\mathbf{r}^{\prime}(t)\right|=\sqrt{25}=5, \qquad \left|\mathbf{r}^{\prime}(t)\right|^{3}=5^{3}=125.

Passo 7

Aplicar a fórmula da curvatura:
\kappa(t)=\frac{\left|\mathbf{r}^{\prime}(t)\times\mathbf{r}^{\prime\prime}(t)\right|}{\left|\mathbf{r}^{\prime}(t)\right|^{3}}=\frac{20}{125}=\frac{4}{25}.
Interpretação rápida e incentivo: a curvatura é constante ao longo da curva (não depende de t) e vale \tfrac{4}{25}. Isso significa que, geometricamente, a “curvatura” da trajetória não muda com o tempo — legal, né? Você mandou bem chegando até aqui!

Resposta

\displaystyle \kappa=\frac{4}{25}

Exercícios relacionados