A função vetorial posição é \mathbf{r}(t)=\big(3t,\;4\sin t,\;4\cos t\big).
Deve-se calcular \mathbf{r}^{\prime}(t), \mathbf{r}^{\prime\prime}(t), o produto vetorial \mathbf{r}^{\prime}\times\mathbf{r}^{\prime\prime}, as normas e então aplicar a fórmula da curvatura.
Passo 2
Calcular \mathbf{r}^{\prime}(t) componente a componente. Regra: derivada de 3t é 3; derivada de \sin t é \cos t; derivada de \cos t é -\sin t. Assim
Explicação didática curta: derivamos cada coordenada em relação a t. O coeficiente 4 multiplica a derivada das funções trigonométricas.
Passo 3
Calcular \mathbf{r}^{\prime\prime}(t) derivando \mathbf{r}^{\prime}(t) componente a componente. Derivada de 3 é 0; de 4\cos t é -4\sin t; de -4\sin t é -4\cos t. Assim
Interpretação rápida e incentivo: a curvatura é constante ao longo da curva (não depende de t) e vale \tfrac{4}{25}. Isso significa que, geometricamente, a “curvatura” da trajetória não muda com o tempo — legal, né? Você mandou bem chegando até aqui!