Questão 24 Encontre a curvatura da curva no ponto indicado.
\mathbf{r}(t)=\left\langle e^{t} \cos t, e^{t} \operatorname{sen} t, t\right\rangle, \quad \text { no ponto }(1,0,0)
Avalia: Curvatura num ponto específico; determinar t_{0} a partir do ponto; calcular \kappa\left(t_{0}\right).
Revisão: (1,0,0) corresponde a t=0 ; \mathbf{r}^{\prime}(t)=\left\langle e^{t}(\cos t-\operatorname{sen} t), e^{t}(\operatorname{sen} t+\cos t), 1\right\rangle; aplicar Teorema 10 em t=0.

Passo 1

O enunciado dá a curva \mathbf{r}(t)=\left\langle e^{t}\cos t,\; e^{t}\sin t,\; t\right\rangle e pede a curvatura no ponto (1,0,0).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A curva é \mathbf{r}(t)=\left\langle e^{t}\cos t,\; e^{t}\sin t,\; t\right\rangle.
  • O ponto onde precisamos da curvatura é (1,0,0).
  • Devemos determinar primeiro o valor de t correspondente a esse ponto (vou chamar de t_0) e depois calcular \kappa(t_0).
Observação imediata (para achar t_0): a terceira coordenada de \mathbf{r}(t) é t, logo, para que a terceira coordenada seja 0 no ponto dado, precisamos de t_0=0. Convém verificar as duas primeiras coordenadas em t=0: \;e^{0}\cos 0=1 e \;e^{0}\sin 0=0, que coincidem com (1,0). Portanto t_0=0 é o parâmetro correto para o ponto pedido.

Passo 2

Qual fórmula vamos usar (e por quê). A curvatura de uma curva regular \mathbf{r}(t) em termos do parâmetro t é dada pelo Teorema 10 (fórmula padrão):
\kappa(t)=\frac{\left\|\mathbf{r}'(t)\times\mathbf{r}''(t)\right\|}{\left\|\mathbf{r}'(t)\right\|^{3}}.
Explicando os símbolos:
  • \mathbf{r}'(t) é o vetor velocidade, isto é, a derivada da posição em relação a t.
  • \mathbf{r}''(t) é o vetor aceleração (segunda derivada).
  • \times é o produto vetorial em \mathbb{R}^{3}.
  • \|\cdot\| é a norma euclidiana (comprimento) de um vetor.
    Intuição curta: o numerador mede a parte da aceleração que é perpendicular à velocidade (relacionada à curvatura da trajetória) e o denominador normaliza pelo cubo da velocidade para tornar \kappa independente da parametrização por velocidade.
Plano de ação: calcular \mathbf{r}'(t) e \mathbf{r}''(t), avaliar em t_0=0, calcular o produto vetorial e normas e aplicar a fórmula acima.

Passo 3

Calcular \mathbf{r}'(t). Derivando componente a componente (usando regra do produto para e^{t}\cos t e e^{t}\sin t):
\mathbf{r}'(t)=\left\langle \frac{d}{dt}\big(e^{t}\cos t\big),\; \frac{d}{dt}\big(e^{t}\sin t\big),\; \frac{d}{dt}t\right\rangle.
Aplicando a regra do produto:
\frac{d}{dt}\big(e^{t}\cos t\big)=e^{t}\cos t - e^{t}\sin t = e^{t}(\cos t-\sin t),
\frac{d}{dt}\big(e^{t}\sin t\big)=e^{t}\sin t + e^{t}\cos t = e^{t}(\sin t+\cos t),
\frac{d}{dt}t=1.
Logo
\mathbf{r}'(t)=\left\langle e^{t}(\cos t-\sin t),\; e^{t}(\sin t+\cos t),\; 1\right\rangle.
Agora avaliar em t_0=0:
\mathbf{r}'(0)=\left\langle e^{0}(\cos 0-\sin 0),\; e^{0}(\sin 0+\cos 0),\; 1\right\rangle=\langle 1,\;1,\;1\rangle.

Passo 4

Calcular \mathbf{r}''(t) (derivada de \mathbf{r}'(t)). Derivando componente a componente:
primeira componente:
\frac{d}{dt}\big(e^{t}(\cos t-\sin t)\big)=e^{t}(\cos t-\sin t)+e^{t}(-\sin t-\cos t)=e^{t}(-2\sin t).
segunda componente:
\frac{d}{dt}\big(e^{t}(\sin t+\cos t)\big)=e^{t}(\sin t+\cos t)+e^{t}(\cos t-\sin t)=e^{t}(2\cos t).
terceira componente:
\frac{d}{dt}1=0.
Portanto
\mathbf{r}''(t)=\left\langle -2e^{t}\sin t,\; 2e^{t}\cos t,\; 0\right\rangle.
Avaliar em t_0=0 (usando \sin 0=0, \cos 0=1, e^{0}=1):
\mathbf{r}''(0)=\langle 0,\;2,\;0\rangle.

Passo 5

Calcular o produto vetorial \mathbf{r}'(0)\times\mathbf{r}''(0). Com \mathbf{r}'(0)=\langle 1,1,1\rangle e \mathbf{r}''(0)=\langle 0,2,0\rangle, usa-se a expressão do determinante:
\mathbf{r}'(0)\times\mathbf{r}''(0)= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 1 & 1 & 1 \\\\ 0 & 2 & 0 \end{vmatrix} =\langle 1\cdot 0 - 1\cdot 2,\; -(1\cdot 0 - 1\cdot 0),\; 1\cdot 2 - 1\cdot 0\rangle.
Calculando os componentes:
\mathbf{r}'(0)\times\mathbf{r}''(0)=\langle -2,\;0,\;2\rangle.
Norma desse vetor:
\left\|\mathbf{r}'(0)\times\mathbf{r}''(0)\right\|=\sqrt{(-2)^{2}+0^{2}+2^{2}}=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}.

Passo 6

Calcular \left\|\mathbf{r}'(0)\right\| e aplicar a fórmula da curvatura. Temos \mathbf{r}'(0)=\langle 1,1,1\rangle, então
\left\|\mathbf{r}'(0)\right\|=\sqrt{1^{2}+1^{2}+1^{2}}=\sqrt{3}.
A fórmula da curvatura dá
\kappa(0)=\frac{\left\|\mathbf{r}'(0)\times\mathbf{r}''(0)\right\|}{\left\|\mathbf{r}'(0)\right\|^{3}} =\frac{2\sqrt{2}}{(\sqrt{3})^{3}}=\frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{3}}.
Podemos simplificar essa expressão escrevendo-a de forma alternativa:
\frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{3}}=\frac{2}{3}\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{2\sqrt{6}}{9}.

Resposta

\displaystyle \kappa(0)=\frac{2\sqrt{6}}{9}

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