Questão 24 Encontre a curvatura da curva no ponto indicado.
\mathbf{r}(t)=\left\langle e^{t} \cos t, e^{t} \operatorname{sen} t, t\right\rangle, \quad \text { no ponto }(1,0,0)
Avalia: Curvatura num ponto específico; determinar t_{0} a partir do ponto; calcular \kappa\left(t_{0}\right).
Revisão: (1,0,0) corresponde a t=0 ; \mathbf{r}^{\prime}(t)=\left\langle e^{t}(\cos t-\operatorname{sen} t), e^{t}(\operatorname{sen} t+\cos t), 1\right\rangle; aplicar Teorema 10 em t=0.
Passo 1
O enunciado dá a curva \mathbf{r}(t)=\left\langle e^{t}\cos t,\; e^{t}\sin t,\; t\right\rangle e pede a curvatura no ponto (1,0,0).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A curva é \mathbf{r}(t)=\left\langle e^{t}\cos t,\; e^{t}\sin t,\; t\right\rangle.
O ponto onde precisamos da curvatura é (1,0,0).
Devemos determinar primeiro o valor de t correspondente a esse ponto (vou chamar de t_0) e depois calcular \kappa(t_0).
Observação imediata (para achar t_0): a terceira coordenada de \mathbf{r}(t) é t, logo, para que a terceira coordenada seja 0 no ponto dado, precisamos de t_0=0. Convém verificar as duas primeiras coordenadas em t=0: \;e^{0}\cos 0=1 e \;e^{0}\sin 0=0, que coincidem com (1,0). Portanto t_0=0 é o parâmetro correto para o ponto pedido.
Passo 2
Qual fórmula vamos usar (e por quê). A curvatura de uma curva regular \mathbf{r}(t) em termos do parâmetro t é dada pelo Teorema 10 (fórmula padrão):
\mathbf{r}'(t) é o vetor velocidade, isto é, a derivada da posição em relação a t.
\mathbf{r}''(t) é o vetor aceleração (segunda derivada).
\times é o produto vetorial em \mathbb{R}^{3}.
\|\cdot\| é a norma euclidiana (comprimento) de um vetor.
Intuição curta: o numerador mede a parte da aceleração que é perpendicular à velocidade (relacionada à curvatura da trajetória) e o denominador normaliza pelo cubo da velocidade para tornar \kappa independente da parametrização por velocidade.
Plano de ação: calcular \mathbf{r}'(t) e \mathbf{r}''(t), avaliar em t_0=0, calcular o produto vetorial e normas e aplicar a fórmula acima.
Passo 3
Calcular \mathbf{r}'(t). Derivando componente a componente (usando regra do produto para e^{t}\cos t e e^{t}\sin t):
Avaliar em t_0=0 (usando \sin 0=0, \cos 0=1, e^{0}=1):
\mathbf{r}''(0)=\langle 0,\;2,\;0\rangle.
Passo 5
Calcular o produto vetorial \mathbf{r}'(0)\times\mathbf{r}''(0). Com \mathbf{r}'(0)=\langle 1,1,1\rangle e \mathbf{r}''(0)=\langle 0,2,0\rangle, usa-se a expressão do determinante: