\mathbf{3}^{\text {a }} Questão ( \mathbf{1 0} pontos): O ar é bombeado através de um orifício imerso em líquido. O tamanho das bolhas que saem do orifício depende do diâmetro do orifício e das propriedades do líquido. A equação que representa esta situação é
Sendo:
\frac{g \cdot\left(\rho_{L}-\rho_{G}\right) \cdot D_{b}^{3}}{\sigma \cdot D_{o}}=6
\mathrm{g}= aceleração gravitacional =32,174 \mathrm{ft} / \mathrm{s}^{2};
\mathrm{D}_{\mathrm{b}}= diâmetro da bolha;
\rho_{\mathrm{L} .}= densidade do líquido =1 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3};
\sigma= tensão superficial gás-líquido =70,8 dinas / \mathrm{cm};
\rho_{\mathrm{G}} ;= densidade do gás =0,081 \mathrm{lb} / \mathrm{ft}^{3};
\mathrm{D}_{\mathrm{o}}= diâmetro do orifício =1 \mathrm{~mm}.
Calcule o diâmetro da bolha \mathbf{D}_{\mathbf{b}}.

Passo 1

O enunciado pede que se calcule o diâmetro da bolha D_{b} a partir da relação
\frac{g\cdot\left(\rho_{L}-\rho_{G}\right)\cdot D_{b}^{3}}{\sigma\cdot D_{o}}=6.
Dados fornecidos (peguei todos do enunciado):
  • g=32,174\\ \text{ft}/\text{s}^{2}.
  • \rho_{L}=1\\ \text{g}/\text{cm}^{3}.
  • \rho_{G}=0,081\\ \text{lb}/\text{ft}^{3}.
  • \sigma=70{,}8\\ \text{dinas}/\text{cm}.
  • D_{o}=1\\ \text{mm}.
Pergunta clara: resolver a equação para D_{b} (ou seja, isolá-lo e calcular seu valor numérico, lembrando de usar unidades consistentes).

Passo 2

Isolar D_{b} algebricamente. Multiplicando ambos os lados por \sigma D_{o} e dividindo por g(\rho_{L}-\rho_{G}),
D_{b}^{3}=\frac{6\,\sigma\,D_{o}}{g\left(\rho_{L}-\rho_{G}\right)}.
Portanto
D_{b}=\sqrt[3]{\frac{6\,\sigma\,D_{o}}{g\left(\rho_{L}-\rho_{G}\right)}}.
Explicação curta: a raiz cúbica aparece porque D_b está ao cubo; para resolver, aplica-se a operação inversa (raiz de ordem 3).

Passo 3

Escolher unidades consistentes. Como \sigma e \rho_{L} estão em unidades do sistema CGS (dinas/cm e g/cm³), é mais simples converter tudo para CGS (cm, g, s). Faço as conversões necessárias:
Converter g de ft/s² para cm/s² usando 1\\ \text{ft}=30{,}48\\ \text{cm}:
g = 32{,}174\\ \frac{\text{ft}}{\text{s}^2}\times 30{,}48\\ \frac{\text{cm}}{\text{ft}} = 980{,}664\\ \frac{\text{cm}}{\text{s}^2}.
Converter \rho_{G} de \text{lb}/\text{ft}^{3} para \text{g}/\text{cm}^{3}. Usa-se 1\\ \text{lb}=453{,}59237\\ \text{g} e 1\\ \text{ft}^3=(30{,}48\\ \text{cm})^3=28316{,}846592\\ \text{cm}^3:
\rho_{G}=0{,}081\\ \frac{\text{lb}}{\text{ft}^3}\times\frac{453{,}59237\\ \text{g}}{1\\ \text{lb}}\times\frac{1}{28316{,}846592\\ \text{cm}^3/\text{ft}^3}
\Rightarrow \rho_{G}\approx 0{,}0012975\\ \frac{\text{g}}{\text{cm}^3}.
Converter D_{o}=1\\ \text{mm} para cm:
D_{o}=1\\ \text{mm}=0{,}1\\ \text{cm}.
Observação de unidades: em CGS, 1\\ \text{dina}=1\\ \text{g}\cdot\text{cm}/\text{s}^2, portanto \sigma em \text{dinas}/\text{cm} é consistente.

Passo 4

Calcular numericamente o numerador 6\,\sigma\,D_{o} e o denominador g(\rho_{L}-\rho_{G}).
Numerador:
6\,\sigma\,D_{o}=6\times 70{,}8\\ \frac{\text{dinas}}{\text{cm}}\times 0{,}1\\ \text{cm}=6\times 70{,}8\times 0{,}1=42{,}48\\ \text{dinas}.
Lembrando que \text{dina}=\text{g}\cdot\text{cm}/\text{s}^2.
Denominador:
g\bigl(\rho_{L}-\rho_{G}\bigr)=980{,}664\\ \frac{\text{cm}}{\text{s}^2}\times\bigl(1-0{,}0012975\bigr)\\ \frac{\text{g}}{\text{cm}^3}.
Calcule a diferença de densidades:
1-0{,}0012975=0{,}9987025.
Então
g\bigl(\rho_{L}-\rho_{G}\bigr)=980{,}664\times 0{,}9987025\approx 979{,}392\\ \frac{\text{g}}{\text{cm}^2\cdot\text{s}^2}.

Passo 5

Calcular D_{b}^{3}:
D_{b}^{3}=\frac{42{,}48}{979{,}392}\\ \text{cm}^3\approx 0{,}043374\\ \text{cm}^3.
Verificação de unidades: \dfrac{\text{g}\cdot\text{cm}/\text{s}^2}{\text{g}/(\text{cm}^2\cdot\text{s}^2)}=\text{cm}^3, como esperado.

Passo 6

Tomar a raiz cúbica para obter D_{b}:
D_{b}=\sqrt[3]{0{,}043374\\ \text{cm}^3}\approx 0{,}3514\\ \text{cm}.
Converter para milímetros ( 1\\ \text{cm}=10\\ \text{mm}):
D_{b}\approx 0{,}3514\\ \text{cm}=3{,}514\\ \text{mm}.
Arredondando de forma razoável (duas casas decimais em mm): D_{b}\approx 3{,}51\\ \text{mm}.

Passo 7

Boa! O procedimento principal foi: isolar D_b, escolher unidades consistentes (aqui CGS), converter todos os dados, calcular numerador e denominador, e finalmente aplicar a raiz cúbica. Se tiver calculadora na prova, siga exatamente estas conversões e passos — isso evita erros de unidade.

Resposta

D_{b}=3{,}51\\ \text{mm}

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