Calcule, caso exista. Se não existir, justifique.
f) \lim _{x \rightarrow 1} \frac{f(x)-f(1)}{x-1} em que f(x)=\left\{\begin{array}{lll}x+1 & \text { se } & x \geqslant 1 \\\\ 2 x & \text { se } & x<1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para calcular, se existir, o limite
\lim_{x\to 1}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}
onde a função é dada por
f(x)=\begin{cases} x+1 & \text{se } x\geqslant 1,\\[4pt] 2x & \text{se } x<1. \end{cases}
Informações relevantes fornecidas:
  • A definição de f para os dois lados de x=1 (peguei isso do enunciado).
  • O valor f(1) pode ser obtido usando o ramo x\geqslant1.
    A pergunta é: esse limite existe? Se sim, qual é o seu valor; se não existir, justificar.]

Passo 2

Primeiro calculemos f(1). Como 1\geqslant1, usa-se o ramo f(x)=x+1. Portanto
f(1)=1+1=2.
Essa é informação necessária porque aparece f(1) na expressão do limite.

Passo 3

Lembrete rápido e dica de prova: um limite \lim_{x\to 1} existe se, e somente se, os dois limites laterais existirem e forem iguais:
\lim_{x\to 1^-}\frac{f(x)-f(1)}{x-1} \quad\text{e}\quad \lim_{x\to 1^+}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}.
No exame, quando a função é definida por partes, calcule sempre esses dois limites separadamente aproximando por cada ramo.

Passo 4

Calculemos o limite pela direita ( x\to1^+). Para x>1 usa-se f(x)=x+1. Substituindo e usando f(1)=2:
\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\frac{(x+1)-2}{x-1}=\frac{x-1}{x-1}=1\qquad\text{para }x>1.
Como a expressão é identicamente 1 para x>1 (próximo de 1), segue que
\lim_{x\to 1^+}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=1.

Passo 5

Calculemos o limite pela esquerda ( x\to1^-). Para x<1 usa-se f(x)=2x. Substituindo e usando f(1)=2:
\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\frac{2x-2}{x-1}=\frac{2(x-1)}{x-1}=2\qquad\text{para }x<1.
Como a expressão é identicamente 2 para x<1 (próximo de 1), segue que
\lim_{x\to 1^-}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=2.

Passo 6

Conclusão e interpretação: os limites laterais são diferentes:
\lim_{x\to 1^-}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=2 \quad\text{e}\quad \lim_{x\to 1^+}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=1.
Como os dois não coincidem, o limite bilateral \lim_{x\to 1}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1} não existe. Observação útil: essa expressão é o quociente diferencial; o resultado significa que f não é diferenciável em x=1 (apesar de ser contínua lá).

Resposta

Não existe. \lim_{x\to 1^-}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}=2,\\ \lim_{x\to 1^+}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}=1

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