Calcule, caso exista. Se não existir, justifique.
c) \lim _{x \rightarrow 1^{+}} \frac{f(x)-f(1)}{x-1}\) em que \(f(x)= \begin{cases}x+1 & \text { se } x \geqslant 1 \\\\ 2 x & \text { se } x<1\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede para calcular, se existir, o limite
\lim_{x\to 1^{+}} \frac{f(x)-f(1)}{x-1}
onde a função f\) é dada por partes: \[f(x)=\begin{cases} x+1 & \text{se } x\geqslant 1,\\[4pt] 2x & \text{se } x<1. \end{cases}
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A definição de f\] fornece dois ramos dependendo se \(x é maior/igual a 1 ou menor que 1.
  • O limite pedido é um limite pela direita em x=1 (ou seja, aproximando x de valores maiores que 1).
  • O quociente \dfrac{f(x)-f(1)}{x-1} é a forma típica da diferença de quocientes usada para calcular derivadas laterais; aqui precisamos apenas do limite pela direita.]

Passo 2

Calcular f(1): como a definição usa o ramo x+1 quando x\geqslant 1, para x=1 vale
f(1)=1+1=2.
Explicação curta: sempre que a função é definida por partes, avaliar em um ponto exige escolher o ramo cuja condição inclui esse ponto.

Passo 3

Entender o que significa x\to 1^{+}: isto quer dizer que x aproxima-se de 1 por valores maiores que 1. Portanto, para todos os x suficientemente próximos de 1 pela direita (isto é, com x>1), devemos usar o ramo f(x)=x+1. Isso é crucial: ao calcular limites laterais em funções por partes, usa-se o ramo correspondente ao lado de aproximação.

Passo 4

Substituir o ramo apropriado no numerador do quociente. Para x>1,
f(x)=x+1, \qquad f(1)=2,
logo
f(x)-f(1)=(x+1)-2=x-1.
Detalhe didático: fiz uma simples subtração termo a termo; nada de especial, só atenção ao escolher o ramo certo.

Passo 5

Formar o quociente e simplificar. Para x>1 e x\neq 1 temos
\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\frac{x-1}{x-1}=1.
Observação importante: a simplificação é válida para x\neq 1 (no ponto x=1 a expressão original é indeterminada), mas em limites só interessa o valor para x próximos de 1, não exatamente em 1. Assim a expressão vale exatamente 1 para toda sequência de x que tende a 1 pela direita.

Passo 6

Calcular o limite: como a expressão simplificada é a constante 1 para todos os x próximos de 1 pela direita, o limite é
\lim_{x\to 1^{+}} \frac{f(x)-f(1)}{x-1}=1.
Interpretação didática: o limite existe e vale 1. Esse limite é a derivada à direita de f em 1 (se quiser relacionar com derivadas).

Passo 7

Comentário extra de interpretação (útil para a prova): se alguém perguntar sobre a derivabilidade de f em 1, pode-se calcular a razão análoga pela esquerda. Para x<1 tem-se f(x)=2x, então
\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\frac{2x-2}{x-1}=2
para x<1 (com x\neq1), portanto
\lim_{x\to 1^{-}}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=2.
Como as duas derivadas laterais são diferentes ( 1 pela direita e 2 pela esquerda), f não é derivável em 1. Isso explica a diferença entre existir o limite pedido (sim) e a existência da derivada (não).

Resposta

1

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