Calcule, caso exista. Se não existir, justifique.
c)
Passo 1
O enunciado pede para calcular, se existir, o limite
onde a função
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A definição de
é maior/igual a
ou menor que . - O limite pedido é um limite pela direita em
(ou seja, aproximando de valores maiores que ). - O quociente
é a forma típica da diferença de quocientes usada para calcular derivadas laterais; aqui precisamos apenas do limite pela direita.]
Passo 2
Calcular
: como a definição usa o ramo
quando
, para
vale
Explicação curta: sempre que a função é definida por partes, avaliar em um ponto exige escolher o ramo cuja condição inclui esse ponto.
Passo 3
Entender o que significa
: isto quer dizer que
aproxima-se de
por valores maiores que
. Portanto, para todos os
suficientemente próximos de
pela direita (isto é, com
), devemos usar o ramo
. Isso é crucial: ao calcular limites laterais em funções por partes, usa-se o ramo correspondente ao lado de aproximação.
Passo 4
Substituir o ramo apropriado no numerador do quociente. Para
,
logo
Detalhe didático: fiz uma simples subtração termo a termo; nada de especial, só atenção ao escolher o ramo certo.
Passo 5
Formar o quociente e simplificar. Para
e
temos
Observação importante: a simplificação é válida para
(no ponto
a expressão original é indeterminada), mas em limites só interessa o valor para
próximos de
, não exatamente em
. Assim a expressão vale exatamente
para toda sequência de
que tende a
pela direita.
Passo 6
Calcular o limite: como a expressão simplificada é a constante
para todos os
próximos de
pela direita, o limite é
Interpretação didática: o limite existe e vale
. Esse limite é a derivada à direita de
em
(se quiser relacionar com derivadas).
Passo 7
Comentário extra de interpretação (útil para a prova): se alguém perguntar sobre a derivabilidade de
em
, pode-se calcular a razão análoga pela esquerda. Para
tem-se
, então
para
(com
), portanto
Como as duas derivadas laterais são diferentes (
pela direita e
pela esquerda),
não é derivável em
. Isso explica a diferença entre existir o limite pedido (sim) e a existência da derivada (não).