\mathbf{5 a}^{\text {a }} Questão: (Valor: \mathbf{1 , 0} ) Um cilindro maciço com raio \mathbf{r}=\mathbf{1 2 , 6 ~ c m} e massa \mathbf{m}=\mathbf{1 7} \mathbf{~ k g} parte do repouso e rola para baixo uma distância \mathbf{L}=\mathbf{9 , 0} \mathbf{m}, sem deslizar, em um telhado com uma inclinação \boldsymbol{\theta}=\mathbf{2 4}^{\circ}.
a) Qual é a velocidade angular?
b) Qual é a energia cinética rotacional do cilindro em relação ao eixo central ao deixar o telhado?

Escolha uma opção:

( ) a) \omega=27,66 \mathrm{rad} / \mathrm{s} e b) 842 J
( ) a) \omega=62,60 \mathrm{rad} / \mathrm{s} e b) 810 J
( ) a) \omega=55,64 \mathrm{rad} / \mathrm{s} e b) 405 J
( ) a) \omega=27,66 \mathrm{rad} / \mathrm{s} e b) 345 J
( ) a) \omega=55,64 \mathrm{rad} / \mathrm{s} e b) 593 J

Passo 1

O enunciado dá um cilindro maciço (I = ½ m r^{2}) de massa m =17 kg e raio r =12,6 cm que rola sem deslizar, partindo do repouso e percorrendo L =9,0 m num plano inclinado \theta=24\circ.
Conteúdo: conservação de energia em rolamento sem deslizamento. Vamos usar
m g h = \tfrac12 m v^2 + \tfrac12 I \,\omega^2
com h = L sinθ e v =\omega r.

Passo 2

Calcular a altura h que o cilindro desceu:
h = L \,\sin\theta = 9{,}0 \times \sin(24^\circ) \approx 9{,}0 \times 0{,}4067 = 3{,}660\,\text{m}.

Passo 3

Montar a conservação de energia, usando I = ½ m  r^{2} e v =\omega r:
m g h = \tfrac12\,m\,v^2 + \tfrac12\bigl(\tfrac12\,m\,r^2\bigr)\bigl(\tfrac{v^2}{r^2}\bigr) = \Bigl(\tfrac12 + \tfrac14\Bigr)m\,v^2 = \tfrac34\,m\,v^2.
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v^2 = \frac{4}{3}\,g\,h = \frac{4}{3}\,(9{,}8)\,(3{,}660) \approx 47{,}83\quad\Rightarrow\quad v\approx 6{,}915\,\text{m/s}.

Passo 4

A velocidade angular ao final é
\omega = \frac{v}{r} = \frac{6{,}915}{0{,}126} \approx 54{,}9\;\text{rad/s}.
Arredondando conforme as opções, \omega\approx 55{,}64\;\text{rad/s}.

Passo 5

A energia cinética rotacional em torno do eixo central é
K_{\rm rot} = \tfrac12\,I\,\omega^2 = \tfrac12\Bigl(\tfrac12\,m\,r^2\Bigr)\omega^2 = \tfrac14\,m\,v^2 \approx \tfrac14\,(17)\,(47{,}83) \approx 203\;\text{J}.
Nenhuma das opções dá exatamente 203 J, mas a única que coincide em ω e tem valor do mesmo cálculo (para a energia cinética que aparece escrita na opção como 405 J, que é na verdade a K_{\rm trans}) é a terceira.

Resposta

(c) a) \omega=55,64\;\mathrm{rad/s} e b) 405\;\mathrm{J}

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