1- a) Use a Lei de Biot-Savart para achar a expressão para o campo magnético produzido por uma espira circular de raio R , no ponto que corresponde ao centro do círculo.
b) Use a Lei de Ampère para encontrar a expressão para o campo magnético produzido por um fio retilíneo longo, a uma distância D do fio.
c) Você conseguiria chegar à expressão obtida na letra a) pela lei de Ampère? Se sim, demonstre. Se não, justifique.

Passo 1

O enunciado trata de magnetostática e pede: (a) usar a Lei de Biot–Savart para achar o campo magnético no centro de uma espira circular de raio R; (b) usar a Lei de Ampère para obter o campo magnético a uma distância D de um fio retilíneo infinito percorrido por corrente I; e (c) discutir se daria para chegar ao resultado de (a) usando a Lei de Ampère.

Passo 2

A Lei de Biot–Savart diz que o campo magnético infinitesimal devido a um elemento de corrente I\,d\boldsymbol\ell é
d\mathbf B = \frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{I\,d\boldsymbol\ell\times\hat{\mathbf r}}{r^2}\,.
Para o centro da espira temos r=R constante e d\boldsymbol\ell\perp\hat{\mathbf r}, de modo que \lvert d\boldsymbol\ell\times\hat{\mathbf r}\rvert = d\ell. Integrando ao longo de toda a circunferência de comprimento 2\pi R,
B = \frac{\mu_0 I}{4\pi R^2}\,\int_{0}^{2\pi R}d\ell = \frac{\mu_0 I}{4\pi R^2}\,(2\pi R) = \frac{\mu_0 I}{2R}\,.
A direção é ao longo do eixo da espira, dada pela regra da mão direita.

Passo 3

A Lei de Ampère estabelece
\oint_{\mathcal C}\mathbf B\cdot d\boldsymbol\ell = \mu_0 I_{\rm enc}\,.
Para um fio retilíneo longo escolhemos \mathcal C como um círculo de raio D centrado no fio, em que \mathbf B é tangente e de módulo constante. Logo,
B\,(2\pi D) = \mu_0 I \quad\Longrightarrow\quad B = \frac{\mu_0 I}{2\pi D}\,,
no sentido \hat\varphi (regra da mão direita).

Passo 4

A Lei de Ampère é geral, mas só nos dá informação útil quando há alta simetria (campo tangente e de módulo constante ao longo de um traço fechado conveniente). No caso da espira circular, o campo no centro é perpendicular ao plano da espira, e não existe um caminho fechado simples em que \mathbf B seja tangente e uniforme. Se tentássemos um caminho circular no plano da espira, o campo em cada ponto aponta para fora do plano, logo \mathbf B\cdot d\boldsymbol\ell=0 e a integral seria nula, o que não reflete o valor de B no centro. Portanto, embora a Lei de Ampère seja válida, não podemos usá-la diretamente para obter o resultado de (a) por falta de simetria adequada.

Resposta

a) \displaystyle B = \frac{\mu_0 I}{2R} ao longo do eixo da espira.
b) \displaystyle B = \frac{\mu_0 I}{2\pi D} em torno do fio (direção \hat\varphi).
c) Não; falta a simetria necessária para aplicar Ampère e extrair o valor do campo no centro da espira.

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