\mathbf{1}^{\text {a }} QUESTÃO: ( VALOR =\mathbf{2 , 0} )
Fatore:
x^{3}-4 x^{2}-5 x

Passo 1

O enunciado pede para fatorar o polinômio \,x^{3}-4x^{2}-5x\,.
Informações dadas: é um polinômio de grau 3 com termos x^{3}, -4x^{2} e -5x. O objetivo é escrever esse polinômio como um produto de fatores polinomiais de grau menor.

Passo 2

Procuro fatores em comum entre os termos. Cada termo tem um fator x em comum: \,x^{3}=x\cdot x^{2}, \,-4x^{2}=x\cdot(-4x), \,-5x=x\cdot(-5). Pelo princípio distributivo, posso colocar esse x em evidência:
x^{3}-4x^{2}-5x = x\bigl(x^{2}-4x-5\bigr).
Aqui usei a propriedade \,a(b+c+d)=ab+ac+ad\, de forma inversa: extraí o fator comum x.

Passo 3

Agora preciso fatorar a quadrática \,x^{2}-4x-5\,. Uma técnica simples é procurar dois números p e q tais que:
p\cdot q = \text{termo constante} = -5
e
p+q = \text{coeficiente de }x = -4.
Os pares inteiros cujo produto é -5 são (1,-5) e (-1,5). Desses, 1+(-5)=-4, que é justamente o que queremos. Logo podemos escrever
x^{2}-4x-5 = (x+1)(x-5).
Para checar, multiplico os fatores: (x+1)(x-5)=x^2-5x+1x-5=x^2-4x-5, confirma.

Passo 4

Como verificação alternativa (método que funciona sempre): usar a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática) para achar as raízes da equação x^{2}-4x-5=0. A fórmula é
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a},
onde a é o coeficiente de x^{2}, b o de x e c o constante. Aqui a=1, b=-4, c=-5. Calculando o discriminante:
\Delta=b^{2}-4ac = (-4)^{2}-4\cdot1\cdot(-5)=16+20=36.
Assim
x=\frac{-(-4)\pm\sqrt{36}}{2\cdot1}=\frac{4\pm6}{2}.
Isso dá x=5 e x=-1. Cada raiz r corresponde a um fator (x-r), então os fatores são (x-5) e (x+1), confirmando o passo anterior.

Passo 5

Juntando tudo: do Passo 2 temos um x em evidência e do Passo 3/4 os dois fatores lineares. Portanto a fatoração completa é
x^{3}-4x^{2}-5x = x\,(x-5)\,(x+1).
Boa! Esse é o tipo de padrão que aparece bastante em provas: tirar fator comum primeiro e depois fatorar a quadrática restante — vale praticar algumas vezes para ficar automático.

Resposta

x(x-5)(x+1)

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