QUESTÃO 5

Deseja-se usar um tirante de aço de 9 m de comprimento e 6 mm de diâmetro para sustentar uma força \boldsymbol{P} de tração. Sabe-se que o fio se alonga 11 mm quando é aplicada essa força. Sabendo que \boldsymbol{E}=200 \mathrm{GPa}, determine (a) a intensidade da força \boldsymbol{P} e (b) a tensão normal correspondente no tirante.
Resposta: (a) P=6,91 k N e (b) \sigma=244,4 \mathrm{MPa}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
(a) a intensidade da força de tração \boldsymbol{P} aplicada ao tirante;
(b) a tensão normal correspondente \sigma no tirante.
Dados fornecidos:
L = 9\\ \text{m} = 9000\\ \text{mm},
d = 6\\ \text{mm},
\delta = 11\\ \text{mm}\quad(\text{alongamento sob a força }P),ç
E = 200\\ \text{GPa} = 200{,}000\\ \text{N/mm}^2.

Passo 2

Conceitos e fórmulas fundamentais que vamos usar (explicadinhos):
  • Tensão normal (ou esforço) é a força por área:
\sigma = \frac{P}{A},
onde \sigma é a tensão em \text{N/mm}^2 (que é igual a MPa), P é a força em N e A é a área da secção transversal em \text{mm}^2.
  • Deformação axial (strain) é a razão entre alongamento e comprimento:
\varepsilon = \frac{\delta}{L},
onde \varepsilon é adimensional, \delta é o alongamento e L o comprimento inicial.
  • Módulo de Young (ou Módulo de Elasticidade) relaciona tensão e deformação linearmente em comportamento elástico:
E = \frac{\sigma}{\varepsilon}.
Aqui E tem unidades de \text{N/mm}^2 (ou GPa). Essa fórmula equivale à famosa lei de Hooke para trações axiais.

Passo 3

A partir de E=\sigma/\varepsilon e \varepsilon=\delta/L obtemos:
\sigma = E\varepsilon = E\frac{\delta}{L}.
Depois, sabendo \sigma e que P=\sigma A, também temos:
P = \sigma A = \left(E\frac{\delta}{L}\right)A = \frac{\delta E A}{L}.
Observação útil: a tensão \sigma depende apenas de E, \delta e L, ou seja, independe da área; já P depende da área.

Passo 4

Calcular a área da seção circular do tirante:
A = \frac{\pi d^2}{4}.
Substituindo d=6\\ \text{mm}:
A = \frac{\pi (6\\ \text{mm})^2}{4} = \frac{\pi \cdot 36}{4} = 9\pi\\ \text{mm}^2.
Valor numérico:
A \approx 9\pi \approx 28{,}27433388\\ \text{mm}^2.

Passo 5

Calcular a tensão \sigma usando \sigma = E\delta/L. Substituindo os valores (tudo em \text{mm} e \text{N/mm}^2):
\sigma = \frac{E\,\delta}{L} = \frac{200{,}000\\ \text{N/mm}^2 \times 11\\ \text{mm}}{9000\\ \text{mm}}.
Fazendo as contas:
\sigma = \frac{2{,}200{,}000}{9000}\\ \text{N/mm}^2 = 244{,}444\ldots\\ \text{N/mm}^2.
Convertendo para MPa (lembrando que 1\\ \text{N/mm}^2 = 1\\ \text{MPa}):
\sigma \approx 244{,}4\\ \text{MPa}.

Passo 6

Calcular a força P. Usamos P=\sigma A. Substituindo os valores já calculados:
P = \sigma A \approx 244{,}444\ldots\\ \text{N/mm}^2 \times 28{,}27433388\\ \text{mm}^2.
Fazendo a multiplicação:
P \approx 6{,}911{,}503{,}8\\ \text{N} \approx 6{,}9115\\ \text{N}.
Convertendo para kN:
P \approx 6{,}91\\ \text{kN}.

Resposta

(a) P = 6{,}91\\ \mathrm{kN}
(b) \sigma = 244{,}4\\ \mathrm{MPa}

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