QUESTÃO 3

Uma barra feita de poliestireno de comprimento igual a 300 mm e diâmetro igual a 12 mm está submetida a uma força de tração igual a 3 kN . Sabendo que \boldsymbol{E}=3,10 \mathrm{GPa}, determine (a) a tensão normal na barra e (b) o alongamento da barra.
Resposta: (a) \sigma=26,54 MPa e (b) \delta=2,57 \mathrm{~mm}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Determinar a tensão normal na barra.
  2. Determinar o alongamento da barra.
Dados fornecidos:
\text{comprimento inicial } L = 300\\ \mathrm{mm},
\text{diâmetro } d = 12\\ \mathrm{mm},â
\text{força de tração } F = 3\\ \mathrm{kN} = 3000\\ \mathrm{N},ççã
\text{módulo de elasticidade } E = 3{,}10\\ \mathrm{GPa} = 3100\\ \mathrm{MPa}.ó
Observação: vou trabalhar em unidades que facilitem as contas à mão: 1\\ \mathrm{MPa}=1\\ \mathrm{N}/\mathrm{mm}^2. Assim, se usamos F em \mathrm{N} e área em \mathrm{mm}^2, a tensão virá em \mathrm{MPa} e, usando L em \mathrm{mm} e E em \mathrm{MPa}, o alongamento virá em \mathrm{mm}.

Passo 2

Calcular a área da seção transversal (a barra é circular). A fórmula da área de um círculo de diâmetro \,d é
A=\frac{\pi d^{2}}{4}.
Aqui A é a área em \mathrm{mm}^2 e d está em \mathrm{mm}. Substituindo d=12\\ \mathrm{mm},
A=\frac{\pi(12)^2}{4}=\frac{\pi\cdot 144}{4}=36\pi\\ \mathrm{mm}^2.
Agora uma aproximação numérica (para poder calcular tensão):
36\pi\approx 36\times 3{,}14159265\approx 113{,}097\\ \mathrm{mm}^2.

Passo 3

Definição e fórmula da tensão normal: a tensão normal (ou tensão axial) é a força por unidade de área, dada por
\sigma=\frac{F}{A},
onde \sigma é a tensão em \mathrm{MPa} (se F em \mathrm{N} e A em \mathrm{mm}^2), F é a força aplicada em \mathrm{N} e A é a área da seção em \mathrm{mm}^2.
Substituindo os valores:
\sigma=\frac{3000}{36\pi}\\ \mathrm{MPa}.
Fazendo a conta numérica:
\sigma\approx \frac{3000}{113{,}097}\approx 26{,}528\\ \mathrm{MPa}.
Arredondando de forma consistente com a resposta dada:
\sigma\approx 26{,}54\\ \mathrm{MPa}.

Passo 4

Conceito de deformação e Lei de Hooke (forma uniaxial): dentro da faixa elástica linear, a tensão e a deformação longitudinal (strain) estão ligadas por
\sigma=E\varepsilon,
onde \varepsilon é a deformação adimensional (alongamento relativo) e E é o módulo de elasticidade em \mathrm{MPa}. Daí
\varepsilon=\frac{\sigma}{E}.
Explicando as grandezas: \varepsilon é adimensional (por exemplo 0{,}01 significa 1\% de alongamento). O alongamento absoluto \delta relaciona-se com \varepsilon por
\varepsilon=\frac{\delta}{L}\quad\Rightarrow\quad \delta=\varepsilon L.

Passo 5

Calcular a deformação usando \sigma e E. Usando \sigma\approx 26{,}528\\ \mathrm{MPa} e E=3100\\ \mathrm{MPa},
\varepsilon=\frac{\sigma}{E}=\frac{26{,}528}{3100}\approx 0{,}008554.
Isto é um alongamento relativo de cerca de 0{,}8554\%.
Agora calcular o alongamento absoluto \delta usando L=300\\ \mathrm{mm}:
\delta=\varepsilon L \approx 0{,}008554\times 300\\ \mathrm{mm}\approx 2{,}566\\ \mathrm{mm}.
Arredondando conforme a resposta fornecida:
\delta\approx 2{,}57\\ \mathrm{mm}.

Resposta

\sigma=26{,}54\\ \mathrm{MPa}
\delta=2{,}57\\ \mathrm{mm}

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