\mathbf{3}^{\text {a }} Questão (Valor: 2,5 pontos) - Responda às questões abaixo apresentadas: (USE O VERSO DA PÁGINA SE NECESSÁRIO)
Se o período de um pêndulo é de 2 s , qual o comprimento do seu fio inextensível se no local onde o instrumento encontra-se a aceleração da gravidade é de 9,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s} 2 ?

Passo 1

O enunciado nos dá os seguintes dados e pede um valor:
  • Período do pêndulo: T=2\\ \mathrm{s}.
  • Aceleração da gravidade no local: g=9,8\\ \mathrm{m/s^2}.
  • Pergunta: qual o comprimento L do fio inextensível do pêndulo?

Passo 2

Apresentando a fórmula que relaciona período e comprimento para um pêndulo simples (pequenas oscilações).
  • Em um pêndulo simples, a equação do movimento angular é
m L \,\theta''(t) = -m g \sin\theta(t),
onde:
  • \theta(t) é o deslocamento angular em radianos,
  • m é a massa do corpo preso (cancela na equação),
  • L é o comprimento do fio,
  • g é a aceleração da gravidade,
  • \theta''(t) é a segunda derivada de \theta em relação ao tempo (aceleração angular).
  • Para pequenas oscilações usa-se a aproximação \sin\theta \approx \theta (quando \theta está em radianos e é pequeno). Com isso a equação vira
\theta''(t) + \frac{g}{L}\,\theta(t)=0,
que é a equação de um movimento harmônico simples com frequência angular
\omega=\sqrt{\frac{g}{L}}.
  • O período T está relacionado com \omega por
T=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}.
Aqui:
  • T é o período (tempo de uma oscilação completa),
  • \pi é a constante geométrica \approx 3,14159.

Passo 3

Isolando L a partir de T=2\pi\sqrt{L/g}.
  • Primeiro elevar ambos os lados ao quadrado:
T^2=(2\pi)^2\frac{L}{g}.
  • Agora resolver para L:
L=\frac{g\,T^2}{(2\pi)^2}=\frac{g\,T^2}{4\pi^2}.

Passo 4

Substituir os valores numéricos fornecidos:
L=\frac{9,8\cdot (2)^2}{4\pi^2}=\frac{9,8\cdot 4}{4\pi^2}=\frac{9,8}{\pi^2}\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Avaliação numérica (aproximação feita com valores usuais de \pi):
  • \pi^2\approx 9,8696.
  • Então
L\approx\frac{9,8}{9,8696}\\ \mathrm{m}\approx 0,993\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Checagem rápida e comentário prático:
  • A unidade ficou em metros (verificável porque g estava em \mathrm{m/s^2} e T em \mathrm{s}).
  • O resultado faz sentido fisicamente: um período de 2\\ \mathrm{s} corresponde a um comprimento em torno de 1\\ \mathrm{m}, o que é compatível com pêndulos reais (tipo pêndulo de relógio grande).
  • Força extra de ânimo: dá para fazer esse cálculo na prova em poucos passos — lembrar da fórmula T=2\pi\sqrt{L/g}, isolar L e substituir os números.

Resposta

L=0,993\\ \mathrm{m}

Exercícios relacionados