Questão (Valor: 2,5 pontos) - Responda às questões abaixo apresentadas:
A distância média de Netuno ao Sol é cerca de 30 vezes a distância da Terra ao Sol. Baseado na Lei dos Períodos de Kepler, estime o tempo necessário para que Netuno dê uma volta completa em torno do Sol, em anos.
A distância média de Netuno ao Sol é cerca de 30 vezes a distância da Terra ao Sol. Baseado na Lei dos Períodos de Kepler, estime o tempo necessário para que Netuno dê uma volta completa em torno do Sol, em anos.
Passo 1
O enunciado pede que eu estime o tempo necessário para que Netuno complete uma volta ao redor do Sol, em anos. As informações relevantes fornecidas são:
- A distância média de Netuno ao Sol é cerca de
vezes a distância média da Terra ao Sol. - Deseja-se o período orbital de Netuno expresso em anos (tempo que leva para dar uma volta completa).
Passo 2
Vou usar a Lei dos Períodos de Kepler (terceira lei) em sua forma prática para comparar dois planetas que orbitam o mesmo astro. A lei diz que o quadrado do período orbital
é proporcional ao cubo do semieixo maior
da órbita:
Isto significa que, para dois planetas que orbitam o mesmo corpo central (aqui, o Sol), a razão entre os quadrados dos períodos é igual à razão entre os cubos dos semieixos:
Explicando as variáveis:
-
é o período de Netuno (o que queremos); -
é o período da Terra (conhecido: ano); -
é a distância média (semieixo maior) de Netuno ao Sol; -
é a distância média da Terra ao Sol.
Usar esta forma por razões (razão entre planetas) é conveniente porque cancela a constante de proporcionalidade associada ao Sol.
Passo 3
Agora plugo os valores conhecidos: para a Terra
ano e
(em unidades relativas, 1 UA). Como o enunciado diz que
vezes
, temos
(em unidades de
). Da igualdade acima:
Tomando raiz quadrada:
Passo 4
Vou calcular
de forma simples e sem calculadora pesada. Escrevo:
Para estimar
uso
. Conhecendo aproximações úteis
e
, tem-se
Multiplicando por
:
Arredondando de forma razoável para relatório/exame:
anos. (Observação: o valor real conhecido é cerca de
anos, então nossa estimativa está muito próxima.)