1^{\text {a }} Questão (Valor: 2,5 pontos) - Responda às questões abaixo apresentadas:
A distância média de Netuno ao Sol é cerca de 30 vezes a distância da Terra ao Sol. Baseado na Lei dos Períodos de Kepler, estime o tempo necessário para que Netuno dê uma volta completa em torno do Sol, em anos.

Passo 1

O enunciado pede que eu estime o tempo necessário para que Netuno complete uma volta ao redor do Sol, em anos. As informações relevantes fornecidas são:
  • A distância média de Netuno ao Sol é cerca de 30 vezes a distância média da Terra ao Sol.
  • Deseja-se o período orbital de Netuno expresso em anos (tempo que leva para dar uma volta completa).

Passo 2

Vou usar a Lei dos Períodos de Kepler (terceira lei) em sua forma prática para comparar dois planetas que orbitam o mesmo astro. A lei diz que o quadrado do período orbital T é proporcional ao cubo do semieixo maior a da órbita:
T^{2}\propto a^{3}.
Isto significa que, para dois planetas que orbitam o mesmo corpo central (aqui, o Sol), a razão entre os quadrados dos períodos é igual à razão entre os cubos dos semieixos:
\frac{T_{N}^{2}}{T_{E}^{2}}=\frac{a_{N}^{3}}{a_{E}^{3}}.
Explicando as variáveis:
  • T_{N} é o período de Netuno (o que queremos);
  • T_{E} é o período da Terra (conhecido: 1 ano);
  • a_{N} é a distância média (semieixo maior) de Netuno ao Sol;
  • a_{E} é a distância média da Terra ao Sol.
    Usar esta forma por razões (razão entre planetas) é conveniente porque cancela a constante de proporcionalidade associada ao Sol.

Passo 3

Agora plugo os valores conhecidos: para a Terra T_{E}=1 ano e a_{E}=1 (em unidades relativas, 1 UA). Como o enunciado diz que a_{N}=30 vezes a_{E}, temos a_{N}=30 (em unidades de a_{E}). Da igualdade acima:
\frac{T_{N}^{2}}{1^{2}}=\frac{30^{3}}{1^{3}} \quad\Rightarrow\quad T_{N}^{2}=30^{3}.
Tomando raiz quadrada:
T_{N}=30^{3/2}.

Passo 4

Vou calcular 30^{3/2} de forma simples e sem calculadora pesada. Escrevo:
30^{3/2}=30^{1}\cdot30^{1/2}=30\sqrt{30}.
Para estimar \sqrt{30} uso \sqrt{30}=\sqrt{3\cdot10}=\sqrt{3}\sqrt{10}. Conhecendo aproximações úteis \sqrt{3}\approx1,732 e \sqrt{10}\approx3,162, tem-se
\sqrt{30}\approx1,732\times3,162\approx5,477.
Multiplicando por 30:
T_{N}\approx30\times5,477\approx164,3\\ \text{anos}.
Arredondando de forma razoável para relatório/exame: T_{N}\approx164 anos. (Observação: o valor real conhecido é cerca de 164{,}8 anos, então nossa estimativa está muito próxima.)

Resposta

\,164{,}3\\ \text{anos}

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