1^{\text {a }} Questão (Valor: 2,5 pontos) - Responda às questões abaixo apresentadas:
Um aluno de física II estava siando de uma aula de música de bicicleta a 5,4 \mathrm{~km} / \\mathrm{h}, em uma rua reta e longa. Ouviu uma sirene de ambulância se aproximando dele e, na hora, pegou o seu frequencímetro na mochila, o qual indicou que o som da ambulância era de 1600 Hz . Depois que foi ultrapassado pela ambulância, a frequência mudou para 1400 Hz . Quando chegou em casa, calculou a frequência da sirene na ambulância, assim como a sua velocidade de deslocamento. Quais foram os resultados obtidos?
(Dica: Considere que a velocidade do som neste caso é de 340 \mathrm{~m} / \mathrm{s} )

Passo 1

O que o enunciado dá (valores e observações):
  • Velocidade do ciclista: 5{,}4\\ \text{km/h}.
  • Frequência medida antes de ser ultrapassado (ambulância aproximando-se): 1600\\ \text{Hz}.
  • Frequência medida depois de ser ultrapassado (ambulância se afastando): 1400\\ \text{Hz}.
  • Velocidade do som: 340\\ \text{m/s}.
O que o enunciado pede:
  • A frequência real da sirene na ambulância (frequência emitida pela fonte), f_s.
  • A velocidade da ambulância em relação ao solo, v_s.
Observação: nenhum outro dado numérico foi fornecido; o ciclista e a ambulância movem-se na mesma reta e a ambulância passa o ciclista (mesma direção, ambulância mais rápida).

Passo 2

Converter a velocidade do ciclista para unidades compatíveis (m/s), porque a velocidade do som está em m/s.
5{,}4\\ \text{km/h} = 5{,}4\cdot\frac{1000}{3600}\\ \text{m/s} = 1{,}5\\ \text{m/s}.
Então a velocidade do observador (ciclista) é \;v_o = 1{,}5\\ \text{m/s}.

Passo 3

Explicar a fórmula do efeito Doppler usada e as variáveis (aula rápida, passo a passo):
  • v é a velocidade do som no ar ( 340\\ \text{m/s}).
  • v_s é a velocidade da fonte (ambulância) em relação ao ar/solo (o que queremos achar).
  • v_o é a velocidade do observador (ciclista) em relação ao ar/solo ( 1{,}5\\ \text{m/s}).
  • f_s é a frequência emitida pela sirene (o que queremos achar).
  • f' é a frequência ouvida pelo observador.
Raciocínio físico (como obter as fórmulas):
  • Quando a fonte se aproxima do observador (ambulância vindo por trás e alcançando o ciclista), a fonte “aperta” as frentes de onda na direção do observador. A distância entre frentes (comprimento de onda à frente da fonte) fica
\lambda_{\text{frente}}=\frac{v-v_s}{f_s}.
Os frentes de onda se movem em mesma direção que o observador com velocidade v em relação ao ar; se o observador também se move na mesma direção, a velocidade relativa com que as frentes passam pelo observador é v-v_o. Assim a frequência observada enquanto a ambulância se aproxima é
f_1=f_s\cdot\frac{v-v_o}{\,v-v_s\,}.
  • Depois que a ambulância passou, para o observador que está atrás da ambulância, o comprimento de onda atrás da fonte é
\lambda_{\text{trás}}=\frac{v+v_s}{f_s},á
e agora as frentes chegam ao observador com velocidade relativa v+v_o (porque ondas e observador vêm em sentidos opostos), produzindo
f_2=f_s\cdot\frac{v+v_o}{\,v+v_s\,}.
Resumo: usaremos o sistema de duas equações
f_1=f_s\cdot\frac{v-v_o}{\,v-v_s\,},\qquad f_2=f_s\cdot\frac{v+v_o}{\,v+v_s\,},
onde f_1=1600\\ \text{Hz} (antes de passar) e f_2=1400\\ \text{Hz} (depois de passar).

Passo 4

Substituir os valores conhecidos nas equações:
1600 = f_s\cdot\frac{340-1{,}5}{\,340-v_s\,}, \qquad 1400 = f_s\cdot\frac{340+1{,}5}{\,340+v_s\,}.
Para eliminar f_s e achar v_s, igualar as duas expressões para f_s. Escrevendo f_s de cada equação:
f_s = 1600\cdot\frac{340-v_s}{340-1{,}5}, \qquad f_s = 1400\cdot\frac{340+v_s}{340+1{,}5}.
Igualando:
1600\cdot\frac{340-v_s}{338{,}5}=1400\cdot\frac{340+v_s}{341{,}5}.

Passo 5

Resolver a equação para v_s (álgebra passo a passo).
Multiplicar ambos os lados pelos denominadores:
1600(340-v_s)(341{,}5)=1400(340+v_s)(338{,}5).
Expandir parcialmente os fatores constantes (primeiro calcule 340\pm1{,}5):
340+1{,}5=341{,}5,\qquad 340-1{,}5=338{,}5.
Agora expandir e recolher os termos com v_s. Uma forma prática é reorganizar para isolar v_s. Procedendo:
1600\big(340\cdot341{,}5 - v_s\cdot341{,}5\big)=1400\big(340\cdot338{,}5 + v_s\cdot338{,}5\big).
Passando os termos com v_s para um lado e os demais para o outro:
-1600\,v_s\cdot341{,}5 -1400\,v_s\cdot338{,}5 = 1400\cdot340\cdot338{,}5 -1600\cdot340\cdot341{,}5.
Colocando v_s em evidência e multiplicando por -1:
v_s\big(1600\cdot341{,}5 +1400\cdot338{,}5\big) = 340\big(1600\cdot341{,}5 -1400\cdot338{,}5\big).
Calcular os termos numéricos (vou detalhar as contas para poder fazer sem calculadora sofisticada):
340+1{,}5=341{,}5,\qquad 340-1{,}5=338{,}5.
1600\cdot341{,}5 = 1600\cdot341 + 1600\cdot0{,}5 = 545600 + 800 = 546400.
1400\cdot338{,}5 = 1400\cdot338 + 1400\cdot0{,}5 = 473200 + 700 = 473900.
Então:
\text{denominador} = 1600\cdot341{,}5 +1400\cdot338{,}5 = 546400 + 473900 = 1\,020300.
\text{numerador interno} = 1600\cdot341{,}5 -1400\cdot338{,}5 = 546400 - 473900 = 72500.
Agora
v_s = 340\cdot\frac{72500}{1\,020300}.
Calcular a fração:
\frac{72500}{1\,020300}\approx 0{,}071032\ldots
Multiplicando por 340:
v_s \approx 340\cdot0{,}071032 \approx 24{,}15\\ \text{m/s}.
Converter para km/h (se preferir):
24{,}15\\ \text{m/s}\times3{,}6 \approx 86{,}94\\ \text{km/h}.
Arredondando razoavelmente: v_s\approx24{,}15\\ \text{m/s}\approx86{,}9\\ \text{km/h}.

Passo 6

Calcular a frequência emitida f_s usando uma das equações (uso a da aproximação, f_1):
f_s = 1600\cdot\frac{340-v_s}{340-1{,}5} =1600\cdot\frac{340-24{,}15}{338{,}5}.
Calcular numericamente:
340-24{,}15=315{,}85.
\frac{315{,}85}{338{,}5}\approx0{,}9333\ldots
f_s \approx 1600\cdot0{,}9333\approx1493\\ \text{Hz}.
Verificação rápida com a segunda equação dá praticamente o mesmo valor (consistência numérica).

Passo 7

Resumo dos resultados obtidos (interpretação rápida para a prova):
  • A frequência real da sirene é menor do que a frequência percebida enquanto a ambulância se aproximava (porque a aproximação eleva a frequência percebida), e calculamos f_s pela relação do Doppler.
  • A velocidade da ambulância resultou ser da ordem de algumas dezenas de m/s, ou seja, cerca de 87\\ \text{km/h}, valor compatível com uma ambulância em via urbana/estrada ao ultrapassar um ciclista.

Resposta

f_s = 1493\\ \text{Hz}
v_s = 24{,}15\\ \text{m/s}\approx86{,}9\\ \text{km/h}

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