QUESTÃO (valor=5,0)
Um tubo de aço carbono
de 20 mm de diâmetro interno e espessura de parede de 4 mm é usado para produzir vapor de água. A água entra no estado líquido saturado a
e deixa o tubo como vapor saturado a
. A vazão no interior do tubo é de
e a entalpia de vaporização da água é de
. O tubo está exposto à circulação de gases de combustão a
e admite-se um coeficiente combinado de transferência de calor igual a
. Considere que a temperatura da parede interna do tubo é de
. Determine:
a) O comprimento necessário do tubo.
b) Se 10500 aletas circulares (piniformes) de alumínio (
), cada uma com
de comprimento e
de diâmetro, forem instaladas na superfície externa do tubo, determine qual deverá ser o novo comprimento total do tubo. Admita que a temperatura da superfície externa do tubo é a mesma do item anterior (letra a). Determine a eficiência de cada aleta circular.
a) O comprimento necessário do tubo.
b) Se 10500 aletas circulares (piniformes) de alumínio (
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados (peguei todos estes valores do enunciado):
- Condutividade do tubo de aço carbono:
(não será necessária para os cálculos solicitados porque a parede é assumida com a temperatura conhecida). - Diâmetro interno do tubo:
. - Espessura da parede do tubo:
. - Logo, diâmetro externo do tubo:
. - Temperatura dos gases de combustão:
. - Temperatura da superfície externa (assumida igual à usada no item a):
. - Coeficiente combinado de transferência de calor (convecção + radiação efetiva):
. - Vazão mássica de água:
. - Entalpia de vaporização:
. - Número de aletas no item (b):
. - Aletas piniformes de alumínio: condutividade
. - Cada aleta tem comprimento (altura radial)
e diâmetro .
O que o enunciado pede:
(a) Determinar o comprimento do tubo necessário para vaporizar a água (toda a vazão) quando a superfície do tubo está a
.
(b) Se forem instaladas aletas descritas, determinar o novo comprimento total do tubo
e a eficiência de cada aleta circular.
(a) Determinar o comprimento
(b) Se forem instaladas
Passo 2
Conceito e balanço energético para o item (a).
- A energia necessária por segundo (potência) para vaporizar a água é
onde
é a vazão mássica e
a entalpia de vaporização.
- A taxa de calor disponível através da superfície externa do tubo (quando a superfície externa está a
) é dada por convecção (com combinado):
onde
é a área externa do tubo de comprimento
.
No regime estacionário e desprezando acumulações, impondo que toda a potência necessária vem da convecção:
Desse modo,
Passo 3
Cálculo numérico do item (a) passo a passo.
- Primeiro a potência requerida:
- Diferença de temperatura:
- Denominador (por metro de comprimento):
Calculemos em etapas:
- Logo o comprimento necessário é
Interpretação curta: sem aletas são necessários cerca de
de tubo.
Passo 4
Estratégia e modelagem para o item (b) com as aletas piniformes.
- Com aletas fixadas, a potência total retirada dos gases é soma da contribuição da superfície nua do tubo (agora reduzida pelo espaço ocupado pelas bases das aletas) mais a contribuição das aletas:
onde
é a área ocupada na superfície do tubo por cada base de aleta (área do círculo de diâmetro
) e
é a potência convectiva retirada por cada aleta (calculada através da teoria de aletas cilíndricas com convecção na lateral e na ponta).
- A área da base de cada aleta:
-
Para cada aleta cilíndrica (pin fin) de seção circular e comprimento
, definimos: - área de seção transversal da aleta:
, - perímetro molhado:
, - parâmetro
da equação da aleta:
Observação: para seção circular isso simplifica para. - área de seção transversal da aleta:
-
A solução do problema de aleta de seção uniforme com convecção na lateral e na ponta dá a potência por aleta (sinal conforme
):
Aqui
é a temperatura da base da aleta (dada
).
- Após calcular
e o termo da área ocupada pelas bases, resolve-se para impondo .
Passo 5
Cálculos numéricos das características da aleta e da
(mostrar contas detalhadas).
- Área de seção transversal da aleta:
- Perímetro:
- Parâmetro
(usar a simplificação para seção circular):
Calcule:
- Produto
:
- Coeficiente auxiliar
:
- Calculamos
(que aparece na fórmula):
- Avaliando hiperbólicas (usar aproximações numéricas):
- Agora o numerador e denominador da fração da fórmula da aleta:
- Razão:
- Potência por aleta (magnitude):
Observe que
; o módulo da potência é
Portanto cada aleta retira cerca de
dos gases (em magnitude).
Passo 6
Cálculo do comprimento novo
.
- Potência total retirada pelas
aletas:
- Área da base ocupada por cada aleta:
- Termo subtraído da área do tubo por todas as bases:
- Escrevendo o balanço total:
Isolando
:
-
Calculemos os termos:
- Já temos
. -
-
- Denominador
já calculado por metro:
- Já temos
-
Numerador:
- Portanto:
Comentário: com as
aletas descritas o comprimento necessário cai de aproximadamente
para cerca de
.
Passo 7
Cálculo da eficiência de cada aleta.
-
Área total da aleta exposta à convecção (lateral + ponta):
- Área lateral:
. - Área da ponta:
. - Área total da aleta:
- Área lateral:
-
Calcule a potência ideal se toda a área estivesse à temperatura da base (sem quedas térmicas na aleta):
Módulo:
- Eficiência da aleta:
Interpretação: cada aleta funciona com eficiência alta (cerca de 94%), então a queda de temperatura ao longo da aleta é pequena comparada ao salto entre gás e base.
Resposta
Comprimento sem aletas:
Comprimento com 10500 aletas:
Eficiência de cada aleta: (ou
)
Comprimento com 10500 aletas:
Eficiência de cada aleta: