\mathbf{2}^{\text {a }} QUESTÃO (valor=5,0)

Um tubo de aço carbono (15 \mathrm{~W} / \mathrm{mK}) de 20 mm de diâmetro interno e espessura de parede de 4 mm é usado para produzir vapor de água. A água entra no estado líquido saturado a \mathbf{1 2 0}^{\boldsymbol{\circ}} \mathbf{C} e deixa o tubo como vapor saturado a 120^{\circ} \mathrm{C}. A vazão no interior do tubo é de 0,01 \mathrm{~kg} / \mathrm{s} e a entalpia de vaporização da água é de 2202 \times 10^{3} \mathrm{~J} / \mathrm{kg}. O tubo está exposto à circulação de gases de combustão a 470^{\circ} \mathrm{C} e admite-se um coeficiente combinado de transferência de calor igual a 40 W / m^{2} K. Considere que a temperatura da parede interna do tubo é de \mathbf{1 2 0}^{\circ} \mathrm{C}. Determine:
a) O comprimento necessário do tubo.
b) Se 10500 aletas circulares (piniformes) de alumínio ( \boldsymbol{k}=\mathbf{8 0} \boldsymbol{W} / \mathbf{m K} ), cada uma com 13 m m de comprimento e 2 m m de diâmetro, forem instaladas na superfície externa do tubo, determine qual deverá ser o novo comprimento total do tubo. Admita que a temperatura da superfície externa do tubo é a mesma do item anterior (letra a). Determine a eficiência de cada aleta circular.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados (peguei todos estes valores do enunciado):
  • Condutividade do tubo de aço carbono: k_{\text{tubo}}=15\\ \mathrm{W/(m\cdot K)} (não será necessária para os cálculos solicitados porque a parede é assumida com a temperatura conhecida).
  • Diâmetro interno do tubo: D_i=20\\ \mathrm{mm}=0{,}020\\ \mathrm{m}.
  • Espessura da parede do tubo: t=4\\ \mathrm{mm}=0{,}004\\ \mathrm{m}.
  • Logo, diâmetro externo do tubo: D_o=D_i+2t=0{,}020+2\cdot0{,}004=0{,}028\\ \mathrm{m}.
  • Temperatura dos gases de combustão: T_\infty=470\,^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura da superfície externa (assumida igual à usada no item a): T_s=120\,^\circ\mathrm{C}.
  • Coeficiente combinado de transferência de calor (convecção + radiação efetiva): h=40\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
  • Vazão mássica de água: \dot m=0{,}01\\ \mathrm{kg/s}.
  • Entalpia de vaporização: L_v=2202\times10^{3}\\ \mathrm{J/kg}=2{,}202\times10^{6}\\ \mathrm{J/kg}.
  • Número de aletas no item (b): N=10500.
  • Aletas piniformes de alumínio: condutividade k_{\text{al}}=80\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
  • Cada aleta tem comprimento (altura radial) L_f=13\\ \mathrm{mm}=0{,}013\\ \mathrm{m} e diâmetro d=2\\ \mathrm{mm}=0{,}002\\ \mathrm{m}.
O que o enunciado pede:
(a) Determinar o comprimento L do tubo necessário para vaporizar a água (toda a vazão) quando a superfície do tubo está a 120\,^\circ\mathrm{C}.
(b) Se forem instaladas 10500 aletas descritas, determinar o novo comprimento total do tubo L_{\text{novo}} e a eficiência de cada aleta circular.

Passo 2

Conceito e balanço energético para o item (a).
  • A energia necessária por segundo (potência) para vaporizar a água é
\dot Q_{\text{req}}=\dot m\,L_v,
onde \dot m é a vazão mássica e L_v a entalpia de vaporização.
  • A taxa de calor disponível através da superfície externa do tubo (quando a superfície externa está a T_s) é dada por convecção (com h combinado):
\dot Q = h\,A_{\text{ext}}(T_\infty-T_s),
onde A_{\text{ext}}=\pi D_o L é a área externa do tubo de comprimento L.
No regime estacionário e desprezando acumulações, impondo que toda a potência necessária vem da convecção:
\dot m L_v = h\,\pi D_o L\,(T_\infty-T_s).
Desse modo,
L = \frac{\dot m L_v}{h\,\pi D_o (T_\infty-T_s)}.

Passo 3

Cálculo numérico do item (a) passo a passo.
  • Primeiro a potência requerida:
\dot Q_{\text{req}}=\dot m\,L_v = 0{,}01\cdot 2{,}202\times10^{6} = 22020\\ \mathrm{W}.
  • Diferença de temperatura:
\Delta T = T_\infty-T_s = 470-120 = 350\\ \mathrm{K}.
  • Denominador (por metro de comprimento):
h\,\pi D_o \Delta T = 40\cdot\pi\cdot 0{,}028\cdot 350.
Calculemos em etapas:
0{,}028\cdot350=9{,}8,
40\cdot\pi\cdot9{,}8 \approx 40\cdot 3{,}1416\cdot 9{,}8 \approx 1231{,}5\\ \mathrm{W/m}.
  • Logo o comprimento necessário é
L=\frac{22020}{1231{,}5}\approx 17{,}88\\ \mathrm{m}.
Interpretação curta: sem aletas são necessários cerca de 17{,}9\\ \mathrm{m} de tubo.

Passo 4

Estratégia e modelagem para o item (b) com as aletas piniformes.
  • Com aletas fixadas, a potência total retirada dos gases é soma da contribuição da superfície nua do tubo (agora reduzida pelo espaço ocupado pelas bases das aletas) mais a contribuição das aletas:
\dot Q_{\text{tot}} = h\,(T_\infty-T_s)\big(\pi D_o L_{\text{novo}} - N A_{\text{base}}\big) + N\,\dot Q_f,
onde A_{\text{base}} é a área ocupada na superfície do tubo por cada base de aleta (área do círculo de diâmetro d) e \dot Q_f é a potência convectiva retirada por cada aleta (calculada através da teoria de aletas cilíndricas com convecção na lateral e na ponta).
  • A área da base de cada aleta:
A_{\text{base}}=\frac{\pi d^2}{4}.
  • Para cada aleta cilíndrica (pin fin) de seção circular e comprimento L_f, definimos:
    • área de seção transversal da aleta: A_c=\dfrac{\pi d^2}{4},
    • perímetro molhado: P=\pi d,
    • parâmetro m da equação da aleta:
    m=\sqrt{\frac{hP}{k_{\text{al}}A_c}}.
    Observação: para seção circular isso simplifica para m=\sqrt{\dfrac{4h}{k_{\text{al}}d}}.
  • A solução do problema de aleta de seção uniforme com convecção na lateral e na ponta dá a potência por aleta (sinal conforme T_b-T_\infty):
\dot Q_f = m k_{\text{al}} A_c (T_s-T_\infty) \frac{\operatorname{sinh}(mL_f)+\dfrac{h}{m k_{\text{al}}}\operatorname{cosh}(mL_f)} {\operatorname{cosh}(mL_f)+\dfrac{h}{m k_{\text{al}}}\operatorname{sinh}(mL_f)}.
Aqui T_s é a temperatura da base da aleta (dada 120\,^\circ\mathrm{C}).
  • Após calcular \dot Q_f e o termo da área ocupada pelas bases, resolve-se para L_{\text{novo}} impondo \dot Q_{\text{tot}}=\dot Q_{\text{req}}.

Passo 5

Cálculos numéricos das características da aleta e da \dot Q_f (mostrar contas detalhadas).
  • Área de seção transversal da aleta:
A_c=\frac{\pi d^2}{4}=\frac{\pi(0{,}002)^2}{4}=\pi\cdot 1{,}0\times10^{-6}\approx 3{,}1416\times10^{-6}\\ \mathrm{m^2}.
  • Perímetro:
P=\pi d=\pi\cdot0{,}002\approx 0{,}0062832\\ \mathrm{m}.
  • Parâmetro m (usar a simplificação para seção circular):
m=\sqrt{\frac{4h}{k_{\text{al}}d}}=\sqrt{\frac{4\cdot 40}{80\cdot 0{,}002}}.
Calcule:
4\cdot40=160,\quad 80\cdot0{,}002=0{,}16,\quad \frac{160}{0{,}16}=1000,
m=\sqrt{1000}\approx 31{,}6228\\ \mathrm{m^{-1}}.
  • Produto mL_f:
mL_f=31{,}6228\cdot0{,}013\approx 0{,}4111.
  • Coeficiente auxiliar \dfrac{h}{m k_{\text{al}}}:
\frac{h}{m k_{\text{al}}}=\frac{40}{31{,}6228\cdot80}\approx 0{,}01581.
  • Calculamos m k_{\text{al}} A_c (que aparece na fórmula):
m k_{\text{al}} A_c = 31{,}6228\cdot80\cdot 3{,}1416\times10^{-6}\approx 0{,}007942\\ \mathrm{W/K}.
  • Avaliando hiperbólicas (usar aproximações numéricas):
\operatorname{sinh}(0{,}4111)\approx 0{,}42266,\qquad \operatorname{cosh}(0{,}4111)\approx 1{,}08574.
  • Agora o numerador e denominador da fração da fórmula da aleta:
\text{num}=\operatorname{sinh}(mL_f)+\frac{h}{m k_{\text{al}}}\operatorname{cosh}(mL_f) \approx 0{,}42266 + 0{,}01581\cdot 1{,}08574 \approx 0{,}43983,
\text{den}=\operatorname{cosh}(mL_f)+\frac{h}{m k_{\text{al}}}\operatorname{sinh}(mL_f) \approx 1{,}08574 + 0{,}01581\cdot0{,}42266 \approx 1{,}09242.
  • Razão:
\frac{\text{num}}{\text{den}}\approx \frac{0{,}43983}{1{,}09242}\approx 0{,}4027.
  • Potência por aleta (magnitude):
\dot Q_f = m k_{\text{al}} A_c (T_s-T_\infty)\cdot 0{,}4027.
Observe que T_s-T_\infty=120-470=-350\\ \mathrm{K}; o módulo da potência é
|\dot Q_f| = 0{,}007942\cdot 350\cdot 0{,}4027 \approx 1{,}1193\\ \mathrm{W}.
Portanto cada aleta retira cerca de 1{,}1193\\ \mathrm{W} dos gases (em magnitude).

Passo 6

Cálculo do comprimento novo L_{\text{novo}}.
  • Potência total retirada pelas N aletas:
\dot Q_{\text{aletas}} = N\,\dot Q_f \approx 10500\cdot 1{,}1193 \approx 11761{,}5\\ \mathrm{W}.
  • Área da base ocupada por cada aleta:
A_{\text{base}}=\frac{\pi d^2}{4}=A_c\approx 3{,}1416\times10^{-6}\\ \mathrm{m^2}.
  • Termo subtraído da área do tubo por todas as bases:
N A_{\text{base}} = 10500\cdot 3{,}1416\times10^{-6}\approx 0{,}0330\\ \mathrm{m^2}.
  • Escrevendo o balanço total:
\dot Q_{\text{req}} = h(T_\infty-T_s)\big(\pi D_o L_{\text{novo}} - N A_{\text{base}}\big) + N\dot Q_f.
Isolando L_{\text{novo}}:
L_{\text{novo}}=\frac{\dot Q_{\text{req}} + h(T_\infty-T_s)N A_{\text{base}} - N\dot Q_f} {h(T_\infty-T_s)\pi D_o}.
  • Calculemos os termos:
    • Já temos \dot Q_{\text{req}}=22020\\ \mathrm{W}.
    • h(T_\infty-T_s)N A_{\text{base}} = 40\cdot350\cdot 0{,}0330 \approx 461{,}8\\ \mathrm{W}.
    • N\dot Q_f \approx 11761{,}5\\ \mathrm{W}.
    • Denominador h(T_\infty-T_s)\pi D_o já calculado por metro: \approx 1231{,}5\\ \mathrm{W/m}.
  • Numerador:
22020 + 461{,}8 - 11761{,}5 = 10720{,}3\\ \mathrm{W}.
  • Portanto:
L_{\text{novo}}=\frac{10720{,}3}{1231{,}5}\approx 8{,}70\\ \mathrm{m}.
Comentário: com as 10500 aletas descritas o comprimento necessário cai de aproximadamente 17{,}9\\ \mathrm{m} para cerca de 8{,}7\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Cálculo da eficiência de cada aleta.
  • Área total da aleta exposta à convecção (lateral + ponta):
    • Área lateral: A_{\ell}=\pi d L_f = \pi\cdot0{,}002\cdot0{,}013\approx 8{,}1681\times10^{-5}\\ \mathrm{m^2}.
    • Área da ponta: A_{\text{tip}}=A_{\text{base}}=3{,}1416\times10^{-6}\\ \mathrm{m^2}.
    • Área total da aleta: A_f = A_{\ell}+A_{\text{tip}}\approx 8{,}4823\times10^{-5}\\ \mathrm{m^2}.
  • Calcule a potência ideal se toda a área estivesse à temperatura da base (sem quedas térmicas na aleta):
\dot Q_{f,\text{ideal}} = h\,A_f\,(T_s-T_\infty) = 40\cdot 8{,}4823\times10^{-5}\cdot(-350).
Módulo:
|\dot Q_{f,\text{ideal}}| \approx 40\cdot 350\cdot 8{,}4823\times10^{-5} \approx 1{,}1875\\ \mathrm{W}.
  • Eficiência da aleta:
\eta_f = \frac{|\dot Q_f|}{|\dot Q_{f,\text{ideal}}|} \approx \frac{1{,}1193}{1{,}1875}\approx 0{,}9426 \approx 94{,}3\%.
Interpretação: cada aleta funciona com eficiência alta (cerca de 94%), então a queda de temperatura ao longo da aleta é pequena comparada ao salto entre gás e base.

Resposta

Comprimento sem aletas: L\approx 17{,}88\\ \mathrm{m}
Comprimento com 10500 aletas: L_{\text{novo}}\approx 8{,}70\\ \mathrm{m}
Eficiência de cada aleta: \eta_f\approx 0{,}943 (ou 94{,}3\%)

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