Questão bônus:

  • A equação de campo de Fourier em coordenadas cilíndricas é
    \frac{\partial T}{\partial t}=\alpha\left(\frac{\partial^{2} T}{\partial r^{2}}+\frac{1}{r} \frac{\partial T}{\partial r}+\frac{1}{r^{2}} \frac{\partial^{2} T}{\partial \theta^{2}}-\frac{\partial^{2} T}{\partial z^{2}}\right)
    Como fica essa equação para o caso de transferência de calor radial em estado estacionário?
Para as seguintes condições de contorno:
\begin{array}{ll} T=T_{i} & \text { at } r=r_{i} \\\ T=T_{o} & \text { at } r=r_{o} \end{array}
Gere uma expressão para a taxa de transferência de calor, qr:

Passo 1

O enunciado nos fornece a equação de Fourier em coordenadas cilíndricas:
\frac{\partial T}{\partial t}=\alpha\left(\frac{\partial^{2} T}{\partial r^{2}}+\frac{1}{r}\frac{\partial T}{\partial r}+\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial^{2} T}{\partial \theta^{2}}-\frac{\partial^{2} T}{\partial z^{2}}\right)
As condições de contorno dadas são:
T=T_{i}\quad\text{em}\quad r=r_{i}, \qquad T=T_{o}\quad\text{em}\quad r=r_{o}.
O que o enunciado pede:
  • Encontrar a forma da equação para o caso de transferência de calor radial em estado estacionário.
  • Gerar uma expressão para a taxa de transferência de calor q_r.
Informações/variáveis conhecidas do enunciado: \alpha, T_i, T_o, r_i, r_o.
Observação prática: para calcular a taxa de calor é preciso conhecer a condutividade térmica; vou introduzir a condutividade térmica k e o comprimento axial (altura) do cilindro L como parâmetros, já que o enunciado não os fornece — isso é padrão nesse tipo de problema.

Passo 2

Primeiro simplificamos a equação usando as hipóteses do problema:
  • Estado estacionário significa \dfrac{\partial T}{\partial t}=0.
  • Transferência radial significa que não há variação com \theta nem com z, logo \dfrac{\partial T}{\partial \theta}=0 e \dfrac{\partial T}{\partial z}=0.
Substituindo essas condições na equação original obtemos:
0=\alpha\left(\frac{d^{2} T}{d r^{2}}+\frac{1}{r}\frac{d T}{d r}\right).
Como \alpha\neq0, podemos dividir por \alpha e a equação que resta é a seguinte equação ordinária para T(r):
\frac{d^{2} T}{d r^{2}}+\frac{1}{r}\frac{d T}{d r}=0.

Passo 3

Para resolver a equação ordinária, faço a substituição S(r)=\dfrac{dT}{dr}. Assim a equação se transforma em uma equação de primeira ordem para S:
\frac{dS}{dr}+\frac{1}{r}S=0.
Esta é uma equação separável / linear simples. Posso separar variáveis:
\frac{dS}{S} = -\frac{dr}{r}.

Passo 4

Integro ambos os lados:
\ln|S| = -\ln r + C_1 \quad\Rightarrow\quad S=\frac{C}{r},
onde C é constante (chamo-a de C_1 ou simplesmente C). Voltando à T:
\frac{dT}{dr}=\frac{C}{r}.
Integro novamente em r:
T(r)=C\ln r + D,
onde C e D são constantes de integração a determinar pelas condições de contorno.

Passo 5

Aplicando as condições de contorno \;T(r_i)=T_i\; e \;T(r_o)=T_o\;:
T_i = C\ln r_i + D, \qquad T_o = C\ln r_o + D.
Subtraindo as duas equações para eliminar D:
T_o - T_i = C(\ln r_o - \ln r_i)=C\ln\!\left(\frac{r_o}{r_i}\right).
Assim:
C = \frac{T_o - T_i}{\ln\!\left(\dfrac{r_o}{r_i}\right)}.
E então
D = T_i - C\ln r_i.

Passo 6

Substituindo C e D na expressão geral, obtemos o perfil de temperatura radial:
T(r)=T_i + \frac{T_o-T_i}{\ln\!\left(\dfrac{r_o}{r_i}\right)}\ln\!\left(\frac{r}{r_i}\right).
Observação: é um perfil logarítmico entre r_i e r_o. Esta fórmula é prática na prova: memorizando que a solução é T(r)=A\ln r + B e aplicando as duas BCs chega-se rapidamente a esta expressão.

Passo 7

Agora calculamos a taxa de transferência de calor radial q_r. A lei de Fourier para condução na direção radial (fluxo total através de uma superfície cilíndrica de raio r e comprimento L) é:
q_r(r) = -k\,A(r)\,\frac{dT}{dr},
onde k é a condutividade térmica e a área através da qual o calor atravessa é a área lateral do cilindro de raio r:
A(r)=2\pi r L.
O sinal negativo vem da lei de Fourier: calor flui na direção de gradiente negativo de temperatura.

Passo 8

Usando \dfrac{dT}{dr}=\dfrac{C}{r} com o C encontrado, substituo em Fourier:
q_r(r) = -k\,(2\pi r L)\left(\frac{C}{r}\right) = -2\pi k L\,C.
Note que o r cancela, logo o fluxo total é independente de r (como deve ser em regime estacionário sem geração interna). Substituindo C:
q_r = -2\pi k L\frac{T_o-T_i}{\ln\!\left(\dfrac{r_o}{r_i}\right)}.
Podemos reescrever de forma usual trocando o sinal na fração:
q_r = 2\pi k L\frac{T_i-T_o}{\ln\!\left(\dfrac{r_o}{r_i}\right)}.
Interpretação do sinal: se T_i>T_o então q_r>0 indicando fluxo de calor do interior para o exterior (sentido radial crescente).

Resposta

\frac{d^{2}T}{d r^{2}}+\frac{1}{r}\frac{d T}{d r}=0
T(r)=T_i+\frac{T_o-T_i}{\ln\!\left(\dfrac{r_o}{r_i}\right)}\ln\!\left(\frac{r}{r_i}\right)
q_r=2\pi k L\frac{T_i-T_o}{\ln\!\left(\dfrac{r_o}{r_i}\right)}

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