Questão bônus:
- A equação de campo de Fourier em coordenadas cilíndricas é
Como fica essa equação para o caso de transferência de calor radial em estado estacionário?
Para as seguintes condições de contorno:
Gere uma expressão para a taxa de transferência de calor, qr:
Como fica essa equação para o caso de transferência de calor radial em estado estacionário?
Passo 1
O enunciado nos fornece a equação de Fourier em coordenadas cilíndricas:
As condições de contorno dadas são:
O que o enunciado pede:
- Encontrar a forma da equação para o caso de transferência de calor radial em estado estacionário.
- Gerar uma expressão para a taxa de transferência de calor
.
Informações/variáveis conhecidas do enunciado:
,
,
,
,
.
Observação prática: para calcular a taxa de calor é preciso conhecer a condutividade térmica; vou introduzir a condutividade térmica e o comprimento axial (altura) do cilindro
como parâmetros, já que o enunciado não os fornece — isso é padrão nesse tipo de problema.
Observação prática: para calcular a taxa de calor é preciso conhecer a condutividade térmica; vou introduzir a condutividade térmica
Passo 2
Primeiro simplificamos a equação usando as hipóteses do problema:
- Estado estacionário significa
. - Transferência radial significa que não há variação com
nem com , logo e .
Substituindo essas condições na equação original obtemos:
Como
, podemos dividir por
e a equação que resta é a seguinte equação ordinária para
:
Passo 3
Para resolver a equação ordinária, faço a substituição
. Assim a equação se transforma em uma equação de primeira ordem para
:
Esta é uma equação separável / linear simples. Posso separar variáveis:
Passo 4
Integro ambos os lados:
onde
é constante (chamo-a de
ou simplesmente
). Voltando à
:
Integro novamente em
:
onde
e
são constantes de integração a determinar pelas condições de contorno.
Passo 5
Aplicando as condições de contorno
e
:
Subtraindo as duas equações para eliminar
:
Assim:
E então
Passo 6
Substituindo
e
na expressão geral, obtemos o perfil de temperatura radial:
Observação: é um perfil logarítmico entre
e
. Esta fórmula é prática na prova: memorizando que a solução é
e aplicando as duas BCs chega-se rapidamente a esta expressão.
Passo 7
Agora calculamos a taxa de transferência de calor radial
. A lei de Fourier para condução na direção radial (fluxo total através de uma superfície cilíndrica de raio
e comprimento
) é:
onde
é a condutividade térmica e a área através da qual o calor atravessa é a área lateral do cilindro de raio
:
O sinal negativo vem da lei de Fourier: calor flui na direção de gradiente negativo de temperatura.
Passo 8
Usando
com o
encontrado, substituo em Fourier:
Note que o
cancela, logo o fluxo total é independente de
(como deve ser em regime estacionário sem geração interna). Substituindo
:
Podemos reescrever de forma usual trocando o sinal na fração:
Interpretação do sinal: se
então
indicando fluxo de calor do interior para o exterior (sentido radial crescente).