\mathbf{P 2} \mathbf{-}_{\text {B }}
A reação exotérmica
\mathrm{A} \longrightarrow \mathrm{~B}+\mathrm{C}
foi conduzida adiabaticamente, e os seguintes dados foram registrados:
X 0 0,2 0,4 0,45 0,5 0,6 0,8 0,9
-r_{\mathrm{A}}\left(\mathrm{mol} / \mathrm{dm}^{3} \cdot \mathrm{~min}\right) 1,0 1,67 5,0 5,0 5,0 5,0 1,25 0,91
A vazão molar de entrada de A era de 300 \mathrm{~mol} / \mathrm{min}.
Qual é a máxima conversão que pode ser alcançada num CSTR de 105 \mathrm{dm}^{3} ?

Passo 1

O enunciado pede: qual é a máxima conversão que pode ser alcançada num CSTR de 105\\ \mathrm{dm}^3 para a reação \mathrm{A}\longrightarrow\mathrm{B}+\mathrm{C}, sabendo que a reação foi conduzida adiabaticamente e que a vazão molar de entrada de A é 300\\ \mathrm{mol/min}.
Informações fornecidas (retiradas da tabela do enunciado):
  • Valores de conversão X e as correspondentes taxas de consumo volumétrico de A, -r_{\mathrm{A}} (unidades \mathrm{mol/dm}^3\cdot\mathrm{min}):
    • X=0, -r_{\mathrm{A}}=1{,}0
    • X=0{,}2, -r_{\mathrm{A}}=1{,}67
    • X=0{,}4, -r_{\mathrm{A}}=5{,}0
    • X=0{,}45, -r_{\mathrm{A}}=5{,}0
    • X=0{,}5, -r_{\mathrm{A}}=5{,}0
    • X=0{,}6, -r_{\mathrm{A}}=5{,}0
    • X=0{,}8, -r_{\mathrm{A}}=1{,}25
    • X=0{,}9, -r_{\mathrm{A}}=0{,}91
Dados do reator:
  • Vazão molar de entrada de A: F_{A0}=300\\ \mathrm{mol/min}.
  • Volume do CSTR: V=105\\ \mathrm{dm}^3.
O que preciso encontrar: o(s) valor(es) de X que satisfazem a equação de projeto do CSTR e, dentre eles, qual é a máxima conversão fisicamente alcançável para esse volume.

Passo 2

Apresentar e explicar a equação de projeto do CSTR (passo didático).
Em regime permanente (estado estacionário) para A em um CSTR vale o balanço:
F_{A0}-F_A+(-r_{\mathrm{A}})\,V=0,
onde
  • F_{A0} é a vazão molar de A na alimentação \,(\mathrm{mol/min}),
  • F_A é a vazão molar de A na saída \,(\mathrm{mol/min}),
  • -r_{\mathrm{A}} é a taxa volumétrica de consumo de A (positiva quando A é consumida) \,(\mathrm{mol/dm}^3\cdot\mathrm{min}),
  • V é o volume do reator \,(\mathrm{dm}^3).
Definindo conversão como \;X=\dfrac{F_{A0}-F_A}{F_{A0}}, tem-se F_{A0}-F_A=F_{A0}X. Substituindo no balanço obtemos a equação clássica do CSTR:
V=\dfrac{F_{A0}\,X}{-r_{\mathrm{A}}(X)}.
Explicação: -r_{\mathrm{A}}(X) deve ser avaliado nas condições de saída do reator, ou seja, no ponto correspondente à conversão X. Essa equação relaciona o volume necessário para obter uma conversão X com a taxa volumétrica de reação àquela conversão.
Reescrevendo para procurar soluções X para um dado V:
- r_{\mathrm{A}}(X)=\frac{F_{A0}}{V}\,X.
Aqui o lado direito é uma função linear em X (reta através da origem) com coeficiente \dfrac{F_{A0}}{V}; graficamente as interseções entre essa reta e a curva experimental -r_{\mathrm{A}}(X) dão os estados estacionários possíveis. A máxima conversão alcançável corresponde ao maior X que satisfaz essa igualdade (desde que fisicamente consistente).

Passo 3

Calcular o coeficiente \dfrac{F_{A0}}{V} e as unidades, para poder comparar com os valores de -r_{\mathrm{A}} da tabela.
\frac{F_{A0}}{V}=\frac{300\\ \mathrm{mol/min}}{105\\ \mathrm{dm}^3}=\frac{300}{105}=\frac{20}{7}\approx2{,}8571429\\ \mathrm{mol/dm}^3\cdot\mathrm{min}.
Portanto a condição a ser satisfeita é
- r_{\mathrm{A}}(X)=2{,}8571429\,X\quad(\mathrm{mol/dm}^3\cdot\mathrm{min}).

Passo 4

Usar os dados da tabela para localizar o intervalo onde ocorre a interseção entre a curva experimental -r_{\mathrm{A}}(X) e a reta 2{,}8571429\,X.
Calculo de 2{,}8571429\,X em cada ponto da tabela e comparação com -r_{\mathrm{A}}:
\begin{aligned} X&=0 &: &\quad 2{,}8571429\cdot0=0 &\quad &\text{e}\quad -r_{\mathrm{A}}=1{,}0\quad(&-r_{\mathrm{A}}>2{,}8571429X)\\\ X&=0{,}2 &: &\quad 2{,}8571429\cdot0{,}2=0{,}5714286 &\quad &\text{e}\quad -r_{\mathrm{A}}=1{,}67\quad(&-r_{\mathrm{A}}>2{,}8571429X)\\\ X&=0{,}4 &: &\quad 2{,}8571429\cdot0{,}4=1{,}1428572 &\quad &\text{e}\quad -r_{\mathrm{A}}=5{,}0\quad(&-r_{\mathrm{A}}>2{,}8571429X)\\\ X&=0{,}6 &: &\quad 2{,}8571429\cdot0{,}6=1{,}7142857 &\quad &\text{e}\quad -r_{\mathrm{A}}=5{,}0\quad(&-r_{\mathrm{A}}>2{,}8571429X)\\\ X&=0{,}8 &: &\quad 2{,}8571429\cdot0{,}8=2{,}2857143 &\quad &\text{e}\quad -r_{\mathrm{A}}=1{,}25\quad(&-r_{\mathrm{A}}<2{,}8571429X)\\\ X&=0{,}9 &: &\quad 2{,}8571429\cdot0{,}9=2{,}5714286 &\quad &\text{e}\quad -r_{\mathrm{A}}=0{,}91\quad(&-r_{\mathrm{A}}<2{,}8571429X) \end{aligned}
Observação: para X\le0{,}6 a taxa experimental -r_{\mathrm{A}} é maior que 2{,}8571429X; para X\ge0{,}8 a taxa experimental é menor. Logo a interseção (ou seja, a solução da equação de projeto) está no intervalo 0{,}6<X<0{,}8. Não há interseção em valores mais altos na tabela, portanto a solução relevante está nesse intervalo.

Passo 5

Interpolação linear entre os pontos X=0{,}6 e X=0{,}8 para estimar a curva -r_{\mathrm{A}}(X) naquele intervalo e resolver a igualdade.
Dados dos extremos:
  • Em X_1=0{,}6, -r_1=5{,}0.
  • Em X_2=0{,}8, -r_2=1{,}25.
Calcula-se a interpolação linear (reta que passa por esses dois pontos). A inclinação é
m=\frac{-r_2-(-r_1)}{X_2-X_1}=\frac{1{,}25-5{,}0}{0{,}8-0{,}6}=\frac{-3{,}75}{0{,}2}=-18{,}75.
Equação da reta para -r_{\mathrm{A}}(X) no intervalo:
- r_{\mathrm{A}}(X)= -18{,}75\,(X-0{,}6)+5{,}0.
Simplificando:
- r_{\mathrm{A}}(X)=16{,}25-18{,}75\,X.
Agora impõe-se a condição de projeto:
16{,}25-18{,}75\,X=2{,}8571429\,X.
Juntando termos em X:
16{,}25=(18{,}75+2{,}8571429)\,X=21{,}6071429\,X.
Logo
X=\frac{16{,}25}{21{,}6071429}\approx0{,}75207.
Arredondando com sentido prático (duas ou três casas decimais, conforme costume em exames), obtemos X\approx0{,}752, isto é cerca de 75{,}2\%.

Passo 6

Interpretação física e verificação rápida:
  • A equação de projeto do CSTR admite soluções onde a reta 2{,}8571429\,X cruza a curva -r_{\mathrm{A}}(X). Encontramos uma única interseção no intervalo [0{,}6,0{,}8], em X\approx0{,}752.
  • Para X menor que esse valor, -r_{\mathrm{A}}>2{,}8571429X, ou seja, a reação é suficientemente rápida para aumentar a conversão até a solução. Para X maior, -r_{\mathrm{A}}<2{,}8571429X e não há equilíbrio estacionário mais à direita.
  • Portanto, a máxima conversão alcançável neste CSTR de 105\\ \mathrm{dm}^3 com a alimentação dada é aproximadamente X=0{,}752 (ou 75{,}2\%).

Resposta

X_{\max}=0{,}752 (aprox.)
X_{\max}\approx75{,}2\%

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