Se
, então
.
Passo 1
O enunciado dá dois vetores em
:
e
.
A pergunta implícita é: mostrar (ou justificar) que
A pergunta implícita é: mostrar (ou justificar) que
Passo 2
Primeiro vamos escrever os vetores em termos da base canônica. Defina os vetores unitários
e
.
Então as componentes significam exatamente os coeficientes nessa base, isto é:
Então as componentes significam exatamente os coeficientes nessa base, isto é:
Explicar isso é importante:
é quanto de
tem em
, e
é quanto de
tem em
.
Passo 3
Agora lembro as propriedades do produto escalar (dot product) que vou usar:
- É bilinear:
. - É simétrico:
. - Para a base canônica, os unitários têm produto escalar
A última igualdade vale porque
e
são ortogonais (ângulo de
) e são unitários.
Passo 4
Usando a bilinearidade, calculo
substituindo as expressões em termos de
:
Agora distribuo (expando os termos usando bilinearidade):
Passo 5
Agora substituo os produtos entre os vetores da base canônica:
,
e
.
Portanto a expressão anterior fica
Portanto a expressão anterior fica
Eliminando os zeros e uns,
Pronto — chegamos exatamente à fórmula pedida.
Passo 6
Vou explicar por que essa fórmula é útil e como usá-la na prova (dicas práticas):
- Para calcular o produto escalar, multiplica-se componente a componente e soma-se: “multiplica primeiro, soma depois”.
- A fórmula evita ter que calcular comprimentos e ângulos; é mais rápida e é a prática usual em provas.
- Também dela segue que
ou seja, o quadrado da norma é a soma dos quadrados das componentes (teorema de Pitágoras em coordenadas).
Passo 7
Exemplo numérico rápido (para fixar): se
e
, então pela fórmula
Com isso dá para testar ortogonalidade: se o produto escalar for zero, os vetores são perpendiculares.
Passo 8
Resumo motivacional: a demonstração é curta e direta usando a base canônica e a bilinearidade do produto escalar. Na prova, quando virem vetores em coordenadas, a regra prática é sempre aplicar
. Você já pode treinar fazendo uns 5 exemplos rápidos para ganhar confiança — dá zero trabalho depois que pega o jeito!