Se \mathbf{u}=\left\langle u_{1}, u_{2}\right\rangle \mathrm{e} \mathbf{v}=\left\langle v_{1}, v_{2}\right\rangle, então \mathbf{u} \cdot \mathbf{v}=u_{1} v_{1}+ u_{2} v_{2}.

Passo 1

O enunciado dá dois vetores em \mathbb{R}^2:
\mathbf{u}=\left\langle u_{1},u_{2}\right\rangle e \mathbf{v}=\left\langle v_{1},v_{2}\right\rangle.
A pergunta implícita é: mostrar (ou justificar) que
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}.

Passo 2

Primeiro vamos escrever os vetores em termos da base canônica. Defina os vetores unitários
\mathbf{e}_1=\left\langle 1,0\right\rangle e \mathbf{e}_2=\left\langle 0,1\right\rangle.
Então as componentes significam exatamente os coeficientes nessa base, isto é:
\mathbf{u}=u_{1}\mathbf{e}_1+u_{2}\mathbf{e}_2, \qquad \mathbf{v}=v_{1}\mathbf{e}_1+v_{2}\mathbf{e}_2.
Explicar isso é importante: u_{1} é quanto de \mathbf{e}_1 tem em \mathbf{u}, e u_{2} é quanto de \mathbf{e}_2 tem em \mathbf{u}.

Passo 3

Agora lembro as propriedades do produto escalar (dot product) que vou usar:
  • É bilinear: (a\mathbf{a}+b\mathbf{b})\cdot\mathbf{c}=a(\mathbf{a}\cdot\mathbf{c})+b(\mathbf{b}\cdot\mathbf{c}).
  • É simétrico: \mathbf{p}\cdot\mathbf{q}=\mathbf{q}\cdot\mathbf{p}.
  • Para a base canônica, os unitários têm produto escalar
\mathbf{e}_1\cdot\mathbf{e}_1=1,\quad \mathbf{e}_2\cdot\mathbf{e}_2=1,\quad \mathbf{e}_1\cdot\mathbf{e}_2=0.
A última igualdade vale porque \mathbf{e}_1 e \mathbf{e}_2 são ortogonais (ângulo de 90^\circ) e são unitários.

Passo 4

Usando a bilinearidade, calculo \mathbf{u}\cdot\mathbf{v} substituindo as expressões em termos de \mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2:
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=(u_{1}\mathbf{e}_1+u_{2}\mathbf{e}_2)\cdot(v_{1}\mathbf{e}_1+v_{2}\mathbf{e}_2).
Agora distribuo (expando os termos usando bilinearidade):
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=u_{1}v_{1}(\mathbf{e}_1\cdot\mathbf{e}_1) +u_{1}v_{2}(\mathbf{e}_1\cdot\mathbf{e}_2) +u_{2}v_{1}(\mathbf{e}_2\cdot\mathbf{e}_1) +u_{2}v_{2}(\mathbf{e}_2\cdot\mathbf{e}_2).

Passo 5

Agora substituo os produtos entre os vetores da base canônica:
\mathbf{e}_1\cdot\mathbf{e}_1=1, \mathbf{e}_2\cdot\mathbf{e}_2=1 e \mathbf{e}_1\cdot\mathbf{e}_2=\mathbf{e}_2\cdot\mathbf{e}_1=0.
Portanto a expressão anterior fica
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=u_{1}v_{1}\cdot 1 + u_{1}v_{2}\cdot 0 + u_{2}v_{1}\cdot 0 + u_{2}v_{2}\cdot 1.
Eliminando os zeros e uns,
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}.
Pronto — chegamos exatamente à fórmula pedida.

Passo 6

Vou explicar por que essa fórmula é útil e como usá-la na prova (dicas práticas):
  • Para calcular o produto escalar, multiplica-se componente a componente e soma-se: “multiplica primeiro, soma depois”.
  • A fórmula evita ter que calcular comprimentos e ângulos; é mais rápida e é a prática usual em provas.
  • Também dela segue que
\|\mathbf{u}\|^{2}=\mathbf{u}\cdot\mathbf{u}=u_{1}^{2}+u_{2}^{2},
ou seja, o quadrado da norma é a soma dos quadrados das componentes (teorema de Pitágoras em coordenadas).

Passo 7

Exemplo numérico rápido (para fixar): se \mathbf{u}=\left\langle 2, -1\right\rangle e \mathbf{v}=\left\langle 3,4\right\rangle, então pela fórmula
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=2\cdot 3 + (-1)\cdot 4 = 6-4=2.
Com isso dá para testar ortogonalidade: se o produto escalar for zero, os vetores são perpendiculares.

Passo 8

Resumo motivacional: a demonstração é curta e direta usando a base canônica e a bilinearidade do produto escalar. Na prova, quando virem vetores em coordenadas, a regra prática é sempre aplicar u_1v_1+u_2v_2. Você já pode treinar fazendo uns 5 exemplos rápidos para ganhar confiança — dá zero trabalho depois que pega o jeito!

Resposta

\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}

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