Se
e
, encontre:
Passo 1
O enunciado dá as funções vetoriais
e
.
A pergunta é: encontrar a derivada em relação a do produto escalar
, ou seja, calcular
A pergunta é: encontrar a derivada em relação a
Informações relevantes dadas:
- Componentes de
: . - Componentes de
: . - Precisa-se da derivada do escalar resultado do produto escalar.
Passo 2
Regra que vou usar (explicação didática).
Sejam e
. O produto escalar é
Sejam
Como derivada é linear e o produto escalar é soma de produtos escalares, aplicando a regra do produto (produto de funções escalares) a cada termo obtemos
Agrupando termos isso é exatamente
Comentário rápido sobre a regra do produto: para funções escalares
e
vale
. Aqui aplicamos isso a cada par de componentes.
Passo 3
Calcular as derivadas das componentes (derivadas básicas que preciso).
As derivadas elementares são: ,
,
.
Logo
As derivadas elementares são:
Logo
Passo 4
Calcular
termo a termo.
Simplificando cada termo:
Passo 5
Calcular
termo a termo.
Simplificando:
Passo 6
Somar os dois resultados para obter a derivada do produto escalar usando a fórmula da Passo 2.
Agrupando termos semelhantes:
Passo 7
Verificação alternativa (útil para a prova): primeiro calcular o escalar
e depois derivar.
Produto escalar direto:
Produto escalar direto:
Derivando:
que coincide com o resultado do passo anterior:
.
Passo 8
Resumo final: a derivada pedida é a expressão obtida acima. Força aí nos estudos — essa técnica de usar
vale sempre e economiza tempo na prova.