Se \mathbf{u}(t)=\langle\sin t, \cos t, t\rangle e \mathbf{v}(t)=\langle t, \cos t, \sin t\rangle, encontre:
\frac{d}{d t}[\mathbf{u}(t) \cdot \mathbf{v}(t)]

Passo 1

O enunciado dá as funções vetoriais
\mathbf{u}(t)=\langle \sin t,\; \cos t,\; t\rangle e \mathbf{v}(t)=\langle t,\; \cos t,\; \sin t\rangle.
A pergunta é: encontrar a derivada em relação a t do produto escalar \mathbf{u}(t)\cdot\mathbf{v}(t), ou seja, calcular
\frac{d}{dt}\bigl[\mathbf{u}(t)\cdot\mathbf{v}(t)\bigr].
Informações relevantes dadas:
  • Componentes de \mathbf{u}: \sin t,\\ \cos t,\\ t.
  • Componentes de \mathbf{v}: t,\\ \cos t,\\ \sin t.
  • Precisa-se da derivada do escalar resultado do produto escalar.

Passo 2

Regra que vou usar (explicação didática).
Sejam \mathbf{u}(t)=\langle u_1(t),u_2(t),u_3(t)\rangle e \mathbf{v}(t)=\langle v_1(t),v_2(t),v_3(t)\rangle. O produto escalar é
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3.
Como derivada é linear e o produto escalar é soma de produtos escalares, aplicando a regra do produto (produto de funções escalares) a cada termo obtemos
\frac{d}{dt}(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v})=u_1'v_1+u_1v_1'+u_2'v_2+u_2v_2'+u_3'v_3+u_3v_3'.
Agrupando termos isso é exatamente
\frac{d}{dt}(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v})=\mathbf{u}'\cdot\mathbf{v}+\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}'.
Comentário rápido sobre a regra do produto: para funções escalares f(t) e g(t) vale (fg)'=f'g+fg'. Aqui aplicamos isso a cada par de componentes.

Passo 3

Calcular as derivadas das componentes (derivadas básicas que preciso).
As derivadas elementares são: \dfrac{d}{dt}\sin t=\cos t, \dfrac{d}{dt}\cos t=-\sin t, \dfrac{d}{dt}t=1.
Logo
\mathbf{u}'(t)=\langle \cos t,\; -\sin t,\; 1\rangle, \qquad \mathbf{v}'(t)=\langle 1,\; -\sin t,\; \cos t\rangle.

Passo 4

Calcular \mathbf{u}'(t)\cdot\mathbf{v}(t) termo a termo.
\mathbf{u}'\cdot\mathbf{v} = (\cos t)(t) + (-\sin t)(\cos t) + (1)(\sin t).
Simplificando cada termo:
\mathbf{u}'\cdot\mathbf{v}=t\cos t - \sin t\cos t + \sin t.

Passo 5

Calcular \mathbf{u}(t)\cdot\mathbf{v}'(t) termo a termo.
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}' = (\sin t)(1) + (\cos t)(-\sin t) + (t)(\cos t).
Simplificando:
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}'=\sin t - \cos t\sin t + t\cos t.

Passo 6

Somar os dois resultados para obter a derivada do produto escalar usando a fórmula da Passo 2.
\frac{d}{dt}(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v})=(\mathbf{u}'\cdot\mathbf{v})+(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}')
= \bigl(t\cos t - \sin t\cos t + \sin t\bigr) + \bigl(\sin t - \cos t\sin t + t\cos t\bigr).
Agrupando termos semelhantes:
\frac{d}{dt}(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v})=2t\cos t + 2\sin t - 2\sin t\cos t.

Passo 7

Verificação alternativa (útil para a prova): primeiro calcular o escalar \mathbf{u}\cdot\mathbf{v} e depois derivar.
Produto escalar direto:
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}= (\sin t)(t) + (\cos t)(\cos t) + (t)(\sin t)=2t\sin t+\cos^2 t.
Derivando:
\frac{d}{dt}\bigl(2t\sin t+\cos^2 t\bigr)=2(\sin t+t\cos t)+2\cos t(-\sin t),
=2\sin t+2t\cos t-2\sin t\cos t,
que coincide com o resultado do passo anterior: 2t\cos t+2\sin t-2\sin t\cos t.

Passo 8

Resumo final: a derivada pedida é a expressão obtida acima. Força aí nos estudos — essa técnica de usar \mathbf{u}'\cdot\mathbf{v}+\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}' vale sempre e economiza tempo na prova.

Resposta

2t\cos t+2\sin t-2\sin t\cos t

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