Calcule a integral.
\int_{0}^{1}\left(e^{t} \mathbf{i}+2 t \mathbf{j}+\ln t \mathbf{k}\right) d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida do campo vetorial no intervalo [0,1]:
\int_{0}^{1}\left(e^{t}\mathbf{i}+2t\mathbf{j}+\ln t\mathbf{k}\right)\,dt.
Informações fornecidas e pontos relevantes:
  • A função integranda é vetorial, com três componentes escalares: \;e^{t} (na direção \mathbf{i}), \;2t (na direção \mathbf{j}) e \;\ln t (na direção \mathbf{k}).
  • O intervalo de integração é [0,1].
  • Observação importante: a função \ln t não está definida em t=0. Portanto a integral na componente \mathbf{k} é uma integral imprópria e precisa ser tratada como limite quando t\to0^+.
O objetivo final é obter o vetor resultante da integração, com as três componentes numéricas.

Passo 2

Regra básica para integrais de funções vetoriais: a integração é feita componente a componente. Ou seja,
\int_{0}^{1}\big(f(t)\mathbf{i}+g(t)\mathbf{j}+h(t)\mathbf{k}\big)\,dt = \left(\int_{0}^{1}f(t)\,dt\right)\mathbf{i}+\left(\int_{0}^{1}g(t)\,dt\right)\mathbf{j}+\left(\int_{0}^{1}h(t)\,dt\right)\mathbf{k}.
Aqui f(t)=e^{t}, g(t)=2t e h(t)=\ln t. Vou calcular cada integral separadamente e depois montar o vetor resultado.

Passo 3

Calcular a componente \mathbf{i}:
\int_{0}^{1}e^{t}\,dt.
Fórmula usada: a primitiva de e^{t} é e^{t}. Isso significa que
\int e^{t}\,dt = e^{t}+C,
onde C é constante de integração. Então a integral definida é
\int_{0}^{1}e^{t}\,dt = \bigl[e^{t}\bigr]_{0}^{1} = e^{1}-e^{0}=e-1.
Explicando de forma simples: integrar e^{t} dá de volta e^{t}, então basta avaliar entre os limites 0 e 1.

Passo 4

Calcular a componente \mathbf{j}:
\int_{0}^{1}2t\,dt.
Fórmula usada: a primitiva de t é t^{2}/2. Para 2t a primitiva é
\int 2t\,dt = 2\cdot\frac{t^{2}}{2}=t^{2}+C.
Logo a integral definida é
\int_{0}^{1}2t\,dt = \bigl[t^{2}\bigr]_{0}^{1}=1^{2}-0^{2}=1.
Em palavras: 2t integra para t^{2}, avaliar de 0 a 1 1.

Passo 5

Calcular a componente \mathbf{k}:
\int_{0}^{1}\ln t\,dt.
Primeiro obter uma primitiva de \ln t. Aqui é conveniente usar integração por partes. A regra de integração por partes é
\int u\,dv = uv - \int v\,du,
onde u e dv são escolhidos a partir do integrando.
Escolhendo u=\ln t e dv=dt (escolha padrão para integrar \ln t):
  • du = \dfrac{1}{t}\,dt,
  • v = \int dv = \int dt = t.
Aplicando a fórmula:
\int \ln t\,dt = t\ln t - \int t\cdot\frac{1}{t}\,dt = t\ln t - \int 1\,dt = t\ln t - t + C.
Portanto uma primitiva de \ln t é t\ln t - t.

Passo 6

Agora avaliar a integral definida, lembrando que é imprópria em 0. Escreve-se como limite:
\int_{0}^{1}\ln t\,dt = \lim_{a\to 0^{+}}\int_{a}^{1}\ln t\,dt = \lim_{a\to 0^{+}}\bigl[t\ln t - t\bigr]_{a}^{1}.
Avalia os extremos:
\bigl[t\ln t - t\bigr]_{a}^{1} = \bigl(1\cdot\ln 1 - 1\bigr) - \bigl(a\ln a - a\bigr).
Como \ln 1 = 0, o primeiro termo é -1. Assim
\int_{0}^{1}\ln t\,dt = -1 - \lim_{a\to 0^{+}}\bigl(a\ln a - a\bigr).
Agora precisamos calcular \lim_{a\to 0^{+}}a\ln a. Observe que \lim_{a\to 0^{+}}a=0 e \ln a\to -\infty, então é uma forma do tipo 0\cdot(-\infty). Para avaliar, rewrite como quociente e use L’Hôpital (ou argumento conhecido): escreva
a\ln a = \frac{\ln a}{1/a}.
Aplicando L’Hôpital (numerador e denominador entram em formas -\infty/+\infty):
  • derivada do numerador: \dfrac{d}{da}\ln a = \dfrac{1}{a},
  • derivada do denominador: \dfrac{d}{da}\bigl(1/a\bigr) = -\dfrac{1}{a^{2}}.
Portanto
\lim_{a\to 0^{+}} \frac{\ln a}{1/a} = \lim_{a\to 0^{+}} \frac{1/a}{-1/a^{2}} = \lim_{a\to 0^{+}}(-a)=0.
Logo \lim_{a\to 0^{+}}a\ln a=0. Também \lim_{a\to 0^{+}}(-a)=0. Assim
\lim_{a\to 0^{+}}\bigl(a\ln a - a\bigr)=0-0=0.
Conclui-se que
\int_{0}^{1}\ln t\,dt = -1.
Comentário amigável: apesar de \ln t explodir para -\infty em 0, o fator t na primitiva faz com que a contribuição ao longo do intervalo perto de zero seja pequena o suficiente para a integral convergir e valer -1.

Passo 7

Agora juntamos as três componentes calculadas:
  • componente em \mathbf{i}: e-1,
  • componente em \mathbf{j}: 1,
  • componente em \mathbf{k}: -1.
Portanto o resultado vetorial da integral é
\left(e-1\right)\mathbf{i}+1\mathbf{j}-1\mathbf{k}.

Resposta

\left(e-1\right)\mathbf{i}+\mathbf{j}-\mathbf{k}

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