Calcule a integral.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida do campo vetorial no intervalo
:
Informações fornecidas e pontos relevantes:
- A função integranda é vetorial, com três componentes escalares:
(na direção ), (na direção ) e (na direção ). - O intervalo de integração é
. - Observação importante: a função
não está definida em . Portanto a integral na componente é uma integral imprópria e precisa ser tratada como limite quando .
O objetivo final é obter o vetor resultante da integração, com as três componentes numéricas.
Passo 2
Regra básica para integrais de funções vetoriais: a integração é feita componente a componente. Ou seja,
Aqui
,
e
. Vou calcular cada integral separadamente e depois montar o vetor resultado.
Passo 3
Calcular a componente
:
Fórmula usada: a primitiva de
é
. Isso significa que
onde
é constante de integração. Então a integral definida é
Explicando de forma simples: integrar
dá de volta
, então basta avaliar entre os limites
e
.
Passo 4
Calcular a componente
:
Fórmula usada: a primitiva de
é
. Para
a primitiva é
Logo a integral definida é
Em palavras:
integra para
, avaliar de
a
dá
.
Passo 5
Calcular a componente
:
Primeiro obter uma primitiva de
. Aqui é conveniente usar integração por partes. A regra de integração por partes é
onde
e
são escolhidos a partir do integrando.
Escolhendo
e
(escolha padrão para integrar
):
-
, -
.
Aplicando a fórmula:
Portanto uma primitiva de
é
.
Passo 6
Agora avaliar a integral definida, lembrando que é imprópria em
. Escreve-se como limite:
Avalia os extremos:
Como
, o primeiro termo é
. Assim
Agora precisamos calcular
. Observe que
e
, então é uma forma do tipo
. Para avaliar, rewrite como quociente e use L’Hôpital (ou argumento conhecido): escreva
Aplicando L’Hôpital (numerador e denominador entram em formas
):
- derivada do numerador:
, - derivada do denominador:
.
Portanto
Logo
. Também
. Assim
Conclui-se que
Comentário amigável: apesar de
explodir para
em
, o fator
na primitiva faz com que a contribuição ao longo do intervalo perto de zero seja pequena o suficiente para a integral convergir e valer
.
Passo 7
Agora juntamos as três componentes calculadas:
- componente em
: , - componente em
: , - componente em
: .
Portanto o resultado vetorial da integral é