1. (\mathbf{1}, \mathbf{5} valores ) Calcule o limite (Não é válido o Teorema de L. Hospital) \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{arct} x-\operatorname{sen} 2 x}{e^{x}-\cos x}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to0}\frac{\arctan x - \sin2x}{e^x - \cos x}
que é um caso de 0/0. Como não podemos usar o Teorema de L’Hospital, vamos recorrer às séries de Taylor em torno de x=0, expandindo até ordens que permitam identificar o limite.

Passo 2

Expandimos em série de Taylor até a ordem x^3:
\arctan x = x - \frac{x^3}{3} + O(x^5),
\sin2x = 2x - \frac{(2x)^3}{6} + O(x^5) = 2x - \frac{4x^3}{3} + O(x^5).
Subtraindo, o numerador fica
\arctan x - \sin2x = \Bigl(x - \tfrac{x^3}{3}\Bigr) - \Bigl(2x - \tfrac{4x^3}{3}\Bigr) + O(x^5) = -x + x^3 + O(x^5).

Passo 3

Agora expandimos o denominador até a ordem x^3:
e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + O(x^4),
\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + O(x^4).
Subtraindo, o denominador fica
e^x - \cos x = \Bigl(1 + x + \tfrac{x^2}{2} + \tfrac{x^3}{6}\Bigr) - \Bigl(1 - \tfrac{x^2}{2}\Bigr) = x + x^2 + \frac{x^3}{6} + O(x^4).

Passo 4

Escrevendo a fração com essas expansões:
\frac{\arctan x - \sin2x}{e^x - \cos x} = \frac{-x + x^3 + O(x^5)}{x + x^2 + \tfrac{x^3}{6} + O(x^4)} = \frac{x\bigl(-1 + x^2 + O(x^4)\bigr)}{x\bigl(1 + x + \tfrac{x^2}{6} + O(x^3)\bigr)}.
Cancelando x e fazendo x\to0, obtemos
\lim_{x\to0} \frac{-1 + x^2 + O(x^4)}{1 + x + \tfrac{x^2}{6} + O(x^3)} = -1.

Resposta

-1

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