1. (2, 0 valores) Calcule \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{\operatorname{sen} x}{x} d x com exactidão até 0,0001

Passo 1

O enunciado pede para aproximar
\int_{0}^{\tfrac12}\frac{\sin x}{x}\,dx
com exatidão até 0,0001. Vamos usar a expansão em série de Maclaurin de \sin x, depois dividir por x, integrar termo a termo e empregar o critério do resto para séries alternadas para garantir o erro desejado.

Passo 2

Recordando a série de Maclaurin de \sin x:
\sin x = \sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}.
Dividindo por x obtém-se
\frac{\sin x}{x} = \sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\frac{x^{2k}}{(2k+1)!}.

Passo 3

Integramos termo a termo de 0 a \tfrac12:
\int_{0}^{\tfrac12}\frac{\sin x}{x}\,dx = \sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\int_{0}^{\tfrac12}\frac{x^{2k}}{(2k+1)!}\,dx = \sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\frac{\bigl(\tfrac12\bigr)^{2k+1}}{(2k+1)\,(2k+1)!}.

Passo 4

Essa é uma série alternada de termo geral
a_k = \frac{\bigl(\tfrac12\bigr)^{2k+1}}{(2k+1)\,(2k+1)!},
que é decrescente em k e tende a zero. Pelo critério do resto na série alternada, o erro ao truncar após k=n é no máximo \bigl|a_{n+1}\bigr|. Queremos \bigl|a_{n+1}\bigr|\le0,0001.

Passo 5

Calculando alguns a_k para \tfrac12:
a_0 = \frac{(\tfrac12)^1}{1\cdot1!} = 0{,}5, \quad a_1 = \frac{(\tfrac12)^3}{3\cdot3!} = \frac1{144}\approx0{,}0069444, \quad a_2 = \frac{(\tfrac12)^5}{5\cdot5!} \approx0{,}00005208.
Aqui a_2<0{,}0001, logo basta truncar a série em k=1. O somatório parcial é
S_1 = a_0 - a_1 = 0{,}5 - 0{,}0069444 = 0{,}4930556\ldots
Arredondando a 0,0001, temos 0{,}4931.

Resposta

\displaystyle 0{,}4931

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